Endomorphismus/Trigonalisierbar/Untere Dreiecksmatrix/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$ -Vektorraum. Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann trigonalisierbar ist, wenn ${}\varphi$ bezüglich einer geeigneten Basis durch eine untere Dreiecksmatrix

{\begin{pmatrix}a_{1}&0&\cdots &\cdots &0\\\ast &a_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\ast &\cdots &\ast &a_{n-1}&0\\\ast &\cdots &\cdots &\ast &a_{n}\end{pmatrix}}

beschrieben wird.