Es sei
ein
Körper
der
Charakteristik
und
. Auf der
-Algebra
-
![{\displaystyle {}B=A[S,T]/(XS+YT+1)=K[X,Y,S,T]/(XS+YT+1)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a527d9ac64ee25893b5768188f01b97e5a246093)
operiert die
additive Gruppe
, indem ein
durch
-
wirkt. Wegen
-
![{\displaystyle {}X(S+\lambda Y)+Y(T-\lambda X)=XS+YT=-1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65215bebeb4769e680a487bf48fe5edb638c5ede)
sind diese zunächst auf
definierten Ringautomorphismen auch auf der Restklassenalgebra Automorphismen. Der Invariantenring ist
,
wobei die Inklusion
-
![{\displaystyle {}A\subseteq B^{G}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ffb1960146b8be774daa44b3a66cbb14892ae7a)
unmittelbar klar ist. Zum Beweis der Umkehrung betrachten wir die
Nenneraufnahme
und
.
Es ist
-
![{\displaystyle {}B_{X}={\left(K[X,Y,S,T]/(XS+YT+1)\right)}_{X}\cong {\left(A_{X}[S,T]\right)}/(XS+YT+1)\cong A_{X}[T]\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25ecec2db98ca1c81ae894a42e59f9a6bf9f8d2e)
wobei beim letzten Isomorphismus
auf
abgebildet wird. Ebenso ist
. Die Operation lässt sich auf diese beiden Nenneraufnahmen fortsetzen. Für die Operation auf
ist
der Invariantenring. Zu einem
,
,
wird ein Polynom
-
![{\displaystyle {}F=a_{0}+a_{1}T+\cdots +a_{n-1}T^{n-1}+a_{n}T^{n}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9908c1460f241d32f7ebd1bc7bfd5d8dce40b292)
auf
-
abgebildet. Bei
ist der Koeffizient zu
-
und dies ist bei
nicht gleich
. Also ist ein solches Polynom nicht invariant. Das gleiche Argument gilt für
.
Es sei nun
invariant. Dann ist
auch als Element in
bzw. in
invariant und daher ist sowohl
als auch
. Aus
-
![{\displaystyle {}F={\frac {G}{X^{n}}}={\frac {H}{Y^{m}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be775ebc78b3fb49d2c776d625556030a73bd428)
folgt
-
![{\displaystyle {}GY^{m}=HX^{n}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af60f014702236505cc22ac9a90ee71f70518dd7)
und aus der
Faktorialität
von
ergibt sich, dass
ein Vielfaches von
sein muss. Somit gehört
zu
. Der Invariantenring ist also
. Dieser ist aber kein
direkter Summand
in
. Es ist
in
, aber
in
, was unmittelbar aus der definierenden Gleichung
folgt. Nach
Aufgabe
kann daher kein direkter Summand vorliegen.