Erzwingende Algebra/Parameter auf Polynomring/Affine Gerade/Kein Reynoldsoperator/Beispiel

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Es sei ein Körper der Charakteristik und . Auf der - Algebra

operiert die additive Gruppe , indem ein durch

wirkt. Wegen

sind diese zunächst auf definierten Ringautomorphismen auch auf der Restklassenalgebra Automorphismen. Der Invariantenring ist , wobei die Inklusion

unmittelbar klar ist. Zum Beweis der Umkehrung betrachten wir die Nenneraufnahme und . Es ist

wobei beim letzten Isomorphismus auf abgebildet wird. Ebenso ist . Die Operation lässt sich auf diese beiden Nenneraufnahmen fortsetzen. Für die Operation auf ist der Invariantenring. Zu einem , , wird ein Polynom

auf

abgebildet. Bei ist der Koeffizient zu

und dies ist bei nicht gleich . Also ist ein solches Polynom nicht invariant. Das gleiche Argument gilt für .

Es sei nun invariant. Dann ist auch als Element in bzw. in invariant und daher ist sowohl als auch . Aus

folgt

und aus der Faktorialität von ergibt sich, dass ein Vielfaches von sein muss. Somit gehört zu . Der Invariantenring ist also . Dieser ist aber kein direkter Summand in . Es ist in , aber in , was unmittelbar aus der definierenden Gleichung folgt. Nach Aufgabe kann daher kein direkter Summand vorliegen.