Es sei
ein
Körper
der
Charakteristik
und
.
Auf der
-Algebra
-
![{\displaystyle {}B=A[S,T]/(XS+YT+1)=K[X,Y,S,T]/(XS+YT+1)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a527d9ac64ee25893b5768188f01b97e5a246093)
operiert die
additive Gruppe
, indem ein
durch
-
wirkt. Wegen
-

sind diese zunächst auf
definierten Ringautomorphismen auch auf der Restklassenalgebra Automorphismen. Der Invariantenring ist
,
wobei die Inklusion
-

unmittelbar klar ist. Zum Beweis der Umkehrung betrachten wir die
Nenneraufnahme
und
.
Es ist
-
![{\displaystyle {}B_{X}={\left(K[X,Y,S,T]/(XS+YT+1)\right)}_{X}\cong {\left(A_{X}[S,T]\right)}/(XS+YT+1)\cong A_{X}[T]\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25ecec2db98ca1c81ae894a42e59f9a6bf9f8d2e)
wobei beim letzten Isomorphismus
auf
abgebildet wird. Ebenso ist
.
Die Operation lässt sich auf diese beiden Nenneraufnahmen fortsetzen. Für die Operation auf
ist
der Invariantenring. Zu einem
,
,
wird ein Polynom
-

auf
-
abgebildet. Bei
ist der Koeffizient zu
-
und dies ist bei
nicht gleich
. Also ist ein solches Polynom nicht invariant. Das gleiche Argument gilt für
.
Es sei nun
invariant. Dann ist
auch als Element in
bzw. in
invariant und daher ist sowohl
als auch
.
Aus
-

folgt
-

und aus der
Faktorialität
von
ergibt sich, dass
ein Vielfaches von
sein muss. Somit gehört
zu
. Der Invariantenring ist also
. Dieser ist aber kein
direkter Summand
in
. Es ist
in
, aber
in
, was unmittelbar aus der definierenden Gleichung
folgt. Nach
Aufgabe
kann daher kein direkter Summand vorliegen.