Erzwingende Algebra/Parameter auf Polynomring/Affine Gerade/Kein Reynoldsoperator/Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}0$ und ${}A=K[X,Y]$. Auf der ${}A$-Algebra

${}B=A[S,T]/(XS+YT+1)=K[X,Y,S,T]/(XS+YT+1)\,$

operiert die additive Gruppe ${}(K,+)$, indem ein ${}\lambda \in K$ durch

$X\mapsto X,\,Y\mapsto Y,\,S\mapsto S+\lambda Y,\,T\mapsto T-\lambda X$

wirkt. Wegen

${}X(S+\lambda Y)+Y(T-\lambda X)=XS+YT=-1\,$

sind diese zunächst auf ${}K[X,Y,S,T]$ definierten Ringautomorphismen auch auf der Restklassenalgebra Automorphismen. Der Invariantenring ist ${}A=K[X,Y]$, wobei die Inklusion

${}A\subseteq B^{G}\,$

unmittelbar klar ist. Zum Beweis der Umkehrung betrachten wir die Nenneraufnahme ${}A\rightarrow A_{X}$ und ${}B\rightarrow B_{X}$. Es ist

${}B_{X}={\left(K[X,Y,S,T]/(XS+YT+1)\right)}_{X}\cong {\left(A_{X}[S,T]\right)}/(XS+YT+1)\cong A_{X}[T]\,,$

wobei beim letzten Isomorphismus ${}S$ auf ${}{\frac {-1-YT}{X}}$ abgebildet wird. Ebenso ist ${}B_{Y}\cong A_{Y}[S]$. Die Operation lässt sich auf diese beiden Nenneraufnahmen fortsetzen. Für die Operation auf ${}B_{X}=A_{X}[T]$ ist ${}A_{X}$ der Invariantenring. Zu einem ${}\lambda \in K$, ${}\lambda \neq 0$, wird ein Polynom

${}F=a_{0}+a_{1}T+\cdots +a_{n-1}T^{n-1}+a_{n}T^{n}\,$

auf

$a_{0}+a_{1}(T-\lambda X)+\cdots +a_{n-1}(T-\lambda X)^{n-1}+a_{n}(T-\lambda X)^{n}$

abgebildet. Bei ${}n\geq 1$ ist der Koeffizient zu ${}T^{n-1}$

$a_{n-1}-n\lambda Xa_{n}$

und dies ist bei ${}\lambda \neq 0$ nicht gleich ${}a_{n-1}$. Also ist ein solches Polynom nicht invariant. Das gleiche Argument gilt für ${}A_{Y}\subseteq A_{Y}[S]=B_{Y}$.

Es sei nun ${}F\in B$ invariant. Dann ist ${}F$ auch als Element in ${}B_{X}$ bzw. in ${}B_{Y}$ invariant und daher ist sowohl ${}F\in A_{Y}$ als auch ${}F\in A_{X}$. Aus

${}F={\frac {G}{X^{n}}}={\frac {H}{Y^{m}}}\,$

folgt

${}GY^{m}=HX^{n}\,$

und aus der Faktorialität von ${}K[X,Y]$ ergibt sich, dass ${}G$ ein Vielfaches von ${}X^{n}$ sein muss. Somit gehört ${}F$ zu ${}A$. Der Invariantenring ist also ${}A$. Dieser ist aber kein direkter Summand in ${}B$. Es ist ${}1\not \in (X,Y)$ in ${}A$, aber ${}1\in (X,Y)$ in ${}B$, was unmittelbar aus der definierenden Gleichung ${}XS+YT=-1$ folgt. Nach Aufgabe kann daher kein direkter Summand vorliegen.