Erzwingende Algebra/Parameter auf Polynomring/Affine Gerade/Kein Reynoldsoperator/Beispiel

Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $0$ und $A = K [X, Y]$ . Auf der $A$ -Algebra

B = A [S, T] / (X S + Y T + 1) = K [X, Y, S, T] / (X S + Y T + 1)

operiert die additive Gruppe $(K, +)$ , indem ein $λ \in K$ durch

X \mapsto X, Y \mapsto Y, S \mapsto S + λ Y, T \mapsto T - λ X

wirkt. Wegen

X (S + λ Y) + Y (T - λ X) = X S + Y T = - 1

sind diese zunächst auf $K [X, Y, S, T]$ definierten Ringautomorphismen auch auf der Restklassenalgebra $B$ Automorphismen. Der Invariantenring ist $A = K [X, Y]$ , wobei die Inklusion

A \subseteq B^{G}

unmittelbar klar ist. Zum Beweis der Umkehrung betrachten wir die Nenneraufnahmen $A \to A_{X}$ und $B \to B_{X}$ . Es ist

B_{X} = {(K [X, Y, S, T] / (X S + Y T + 1))}_{X} ≅ (A_{X} [S, T]) / (X S + Y T + 1) ≅ A_{X} [T],

wobei beim letzten Isomorphismus $S$ auf $\frac{- 1 - Y T}{X}$ abgebildet wird. Ebenso ist $B_{Y} ≅ A_{Y} [S]$ . Die Operation lässt sich auf diese beiden Nenneraufnahmen fortsetzen. Für die Operation auf $B_{X} = A_{X} [T]$ ist $A_{X}$ der Invariantenring. Zu einem $λ \in K$ , $λ \neq 0$ , wird ein Polynom

F = a_{0} + a_{1} T + \dots + a_{n - 1} T^{n - 1} + a_{n} T^{n}

auf

a_{0} + a_{1} (T - λ X) + \dots + a_{n - 1} (T - λ X)^{n - 1} + a_{n} (T - λ X)^{n}

abgebildet. Bei $n \geq 1$ ist der Koeffizient zu $T^{n - 1}$

a_{n - 1} - n λ X a_{n}

und dies ist bei $λ \neq 0$ nicht gleich $a_{n - 1}$ . Also ist ein solches Polynom nicht invariant. Das gleiche Argument gilt für $A_{Y} \subseteq A_{Y} [S] = B_{Y}$ .

Es sei nun $F \in B$ invariant. Dann ist $F$ auch als Element in $B_{X}$ bzw. in $B_{Y}$ invariant und daher ist sowohl $F \in A_{Y}$ als auch $F \in A_{X}$ . Aus

F = \frac{G}{X^{n}} = \frac{H}{Y^{m}}

folgt

G Y^{m} = H X^{n}

und aus der Faktorialität von $K [X, Y]$ ergibt sich, dass $G$ ein Vielfaches von $X^{n}$ sein muss. Somit gehört $F$ zu $A$ . Der Invariantenring ist also $A$ . Dieser ist aber kein direkter Summand in $B$ . Es ist $1 \notin (X, Y)$ in $A$ , aber $1 \in (X, Y)$ in $B$ , was unmittelbar aus der definierenden Gleichung $X S + Y T = - 1$ folgt. Nach Aufgabe kann daher kein direkter Summand vorliegen.