Erzwingende Algebra/SL 2K/Operation der affinen Geraden/Spektrumsabbildung nicht surjektiv/Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}0$ und ${}A=K[X,Y]$. Auf der ${}A$-Algebra

${}B=A[S,T]/(XS+YT+1)=K[X,Y,S,T]/(XS+YT+1)\,$

operiert die additive Gruppe ${}(K,+)$, indem ein ${}\lambda \in K$ durch

$X\mapsto X,\,Y\mapsto Y,\,S\mapsto S+\lambda Y,\,T\mapsto T-\lambda X$

wirkt. Wie in Beispiel gezeigt wurde, ist der Invariantenring unter dieser Gruppenoperation gleich ${}A=K[X,Y]$. Die Spektrumsabbildung

$\operatorname {Spek} {\left(B\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(A\right)}$

ist nicht surjektiv. Für das maximale Ideal

${}{\mathfrak {m}}=(X,Y)\subset A\,$

ist das Erweiterungsideal ${}(X,Y)B$ offenbar gleich dem Einheitsideal. Somit ist die Faser über ${}{\mathfrak {m}}$ nach Fakt leer. Zu jedem anderen Primideal ${}{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spek} {\left(A\right)}$, ${}{\mathfrak {p}}\neq {\mathfrak {m}}$ ist die Faser gleich ${}\kappa ({\mathfrak {p}})[S,T]/(\psi (X)S+\psi (Y)T+1)$, wobei

$\psi \colon A=K[X,Y]\longrightarrow \kappa ({\mathfrak {p}})$

der kanonische Ringhomomorphismus in den Restekörper ist. Nach Voraussetzung ist mindestens eines der ${}\psi (X),\psi (Y)$ eine Einheit, so dass eine Isomorphie zu ${}\kappa ({\mathfrak {p}})[U]$ vorliegt. Die Fasern sind also affine Geraden. Diese sind wiederum genau die Bahnen der Operation, so dass die offene Teilmenge

$D({\mathfrak {m}})\subset \operatorname {Spek} {\left(A\right)}$

der Quotient der Operation ist.