Euklidischer Raum/Abstand zu Unterraum/Skalarprodukt/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Fakt ist

d (v, U) = d (v, p_{U} (v))

und nach Fakt ist

p_{U} (v) = \sum_{i = 1}^{m} ⟨ v, u_{i} ⟩ u_{i} .

Es stehen $p_{U} (v)$ und $v - p_{U} (v)$ senkrecht aufeinander, daher ist unter Verwendung des Satzes des Pythagoras

\begin{matrix} d (v, U)^{2} & = ‖ v - p_{U} (v) ‖^{2} \\ = ‖ v ‖^{2} - ‖ p_{U} (v) ‖^{2} \\ = ‖ v ‖^{2} - ‖ \sum_{i = 1}^{m} ⟨ v, u_{i} ⟩ u_{i} ‖^{2} \\ = ‖ v ‖^{2} - \sum_{i = 1}^{m} {⟨ v, u_{i} ⟩}^{2} . \end{matrix}