Euklidischer Raum/Isometrie/Struktursatz/Fakt

Struktursatz für Isometrien

Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine Isometrie auf dem euklidischen Vektorraum ${}V$.

Dann ist ${}V$ eine orthogonale direkte Summe

${}V=G_{1}\oplus \cdots \oplus G_{p}\oplus H_{1}\oplus \cdots \oplus H_{q}\oplus E_{1}\oplus \cdots \oplus E_{r}\,$

von ${}\varphi$-invarianten Untervektorräumen, wobei die ${}G_{i},H_{j}$ eindimensional und die ${}E_{k}$ zweidimensional sind. Die Einschränkung von ${}\varphi$ auf den ${}G_{i}$ ist die Identität, auf ${}H_{j}$ die negative Identität und auf ${}E_{k}$ eine Drehung ohne Eigenwerte.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen