Euklidischer Raum/Isometrie/Struktursatz/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir führen Induktion über die Dimension von , die mit bezeichnet sei. Der eindimensionale Fall ist wegen Fakt klar. Sei . Die Determinante kann wegen Fakt nur die Werte und annehmen. Bei besitzt das charakteristische Polynom zwei Nullstellen, und diese müssen nach Fakt und sein. Es liegt dann also eine Achsenspiegelung vor und

Wenn die Determinante ist, so sind wir in der Situation von Fakt und es liegt eine Drehung vor. Wenn der Drehwinkel ist, so liegt die Identität vor und man kann zerlegen, und wenn der Drehwinkel ist, so liegt die Punktspiegelung vor und man kann zerlegen. Bei den anderen Winkeln gibt es keine Eigenvektoren.

Sei nun beliebig und die Aussage für kleinere Dimensionen schon bewiesen. Nach Fakt gibt es einen -invarianten Untervektorraum der Dimension oder und nach Fakt gibt es dazu ein invariantes orthogonales Komplement, also

Die Induktionsvoraussetzung angewendet auf liefert das Resultat.

Zur bewiesenen Aussage