Euklidischer Raum/Isometrie/Struktursatz/Fakt/Beweis

Beweis

Wir führen Induktion über die Dimension von ${}V$, die mit ${}n$ bezeichnet sei. Der eindimensionale Fall ist wegen Fakt klar. Sei ${}n=2$. Die Determinante kann wegen Fakt nur die Werte ${}1$ und ${}-1$ annehmen. Bei ${}-1$ besitzt das charakteristische Polynom zwei Nullstellen, und diese müssen nach Fakt ${}1$ und ${}-1$ sein. Es liegt dann also eine Achsenspiegelung vor und

${}V=G\oplus H\,.$

Wenn die Determinante ${}1$ ist, so sind wir in der Situation von Fakt und es liegt eine Drehung vor. Wenn der Drehwinkel ${}0$ ist, so liegt die Identität vor und man kann ${}V=G_{1}\oplus G_{2}$ zerlegen, und wenn der Drehwinkel ${}\pi$ ist, so liegt die Punktspiegelung ${}-\operatorname {Id}$ vor und man kann ${}V=H_{1}\oplus H_{2}$ zerlegen. Bei den anderen Winkeln gibt es keine Eigenvektoren.

Es sei nun ${}n\geq 1$ beliebig und die Aussage für kleinere Dimensionen schon bewiesen. Nach Fakt gibt es einen ${}\varphi$-invarianten Untervektorraum ${}U$ der Dimension ${}1$ oder ${}2$ und nach Fakt gibt es dazu ein invariantes orthogonales Komplement, also

${}V=U\oplus W\,.$

Die Induktionsvoraussetzung angewendet auf ${}W$ liefert das Resultat.

Zur bewiesenen Aussage