Unitärer Vektorraum/Isometrie/Orthogonales Komplement/Fakt

Es sei $\phi :V\to V$ eine lineare Isometrie auf einem endlichdimensionalen $𝕂$-Vektorraum $V$ mit Skalarprodukt und sei  $U\subseteq V$  ein invarianter Unterraum.

Dann ist auch das orthogonale Komplement $U^{\perp }$ invariant.

Insbesondere kann man $\phi$ als direkte Summe

$\phi ={\phi }_U\oplus {\phi }_{U^{\perp }}$

schreiben, wobei die Einschränkungen ${\phi }_U$ und ${\phi }_{U^{\perp }}$ ebenfalls Isometrien sind.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen