Unitärer Vektorraum/Isometrie/Orthogonales Komplement/Fakt

Es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ eine lineare Isometrie auf einem endlichdimensionalen ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum ${}V$ mit Skalarprodukt und sei ${}U\subseteq V$ ein invarianter Unterraum.

Dann ist auch das orthogonale Komplement ${}U^{\perp }$ invariant.

Insbesondere kann man ${}\varphi$ als direkte Summe

${}\varphi =\varphi _{U}\oplus \varphi _{U^{\perp }}\,$

schreiben, wobei die Einschränkungen $\varphi _{U}$ und $\varphi _{U^{\perp }}$ ebenfalls Isometrien sind.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen