Euklidischer Vektorraum/R^3/Eigentliche Isometrie/Darstellung/Fakt/Beweis

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Beweis

Nach Fakt gibt es einen Eigenvektor zum Eigenwert . Sei die davon erzeugte Gerade. Diese ist fix und insbesondere invariant unter . Nach Fakt ist dann auch das orthogonale Komplement invariant unter , d.h. es gibt eine lineare Isometrie

die auf mit übereinstimmt. Dabei muss eigentlich sein, und daher muss nach Fakt eine Drehung sein. Wählt man einen Vektor der Länge eins aus und dazu eine Orthonormalbasis von , so hat bezüglich dieser Basis die angegebene Gestalt.

Zur bewiesenen Aussage