Euklidischer Vektorraum/R^3/Eigentliche Isometrie/Darstellung/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Fakt gibt es einen Eigenvektor $u$ zum Eigenwert $1$. Sei  $U=ℝu$  die davon erzeugte Gerade. Diese ist fix und insbesondere invariant unter $\phi$. Nach Fakt ist dann auch das orthogonale Komplement $U^{\perp }$ invariant unter $\phi$, d.h. es gibt eine lineare Isometrie

${\phi }_2:U^{\perp }⟶U^{\perp },$

die auf $U^{\perp }$ mit $\phi$ übereinstimmt. Dabei muss ${\phi }_2$ eigentlich sein, und daher muss nach Fakt ${\phi }_2$ eine Drehung sein. Wählt man einen Vektor der Länge eins aus $U$ und dazu eine Orthonormalbasis von $U^{\perp }$, so hat $\phi$ bezüglich dieser Basis die angegebene Gestalt.

Zur bewiesenen Aussage