Eulersche Zahl/Einführung/Zins/Textabschnitt

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Intervallschachtelung e.gif

Wir besprechen eine Beschreibung der sogenannten eulerschen Zahl .



Lemma  

Die Intervalle , , mit den Grenzen

definieren eine Intervallschachtelung.

Beweis  

Wegen ist klar, dass

ist, so dass also wirklich Intervalle vorliegen.
Um zu zeigen, dass die Intervalle ineinander liegen, zeigen wir, dass die unteren Grenzen wachsend und die oberen Grenzen fallend sind. Wir betrachten zuerst . Aufgrund der Bernoulli-Ungleichung gilt

Dies schreiben wir als

Daraus ergibt sich durch beidseitige Multiplikation mit (es sei ) die Abschätzung

Für die oberen Intervallgrenzen ergibt die Bernoullische Ungleichung die Abschätzung

Daraus folgt

Durch beidseitige Multiplikation mit ergibt sich


Wir betrachten schließlich die Intervalllängen. Diese sind

und konvergieren somit gegen .
  Also liegt insgesamt eine Intervallschachtelung vor.


Durch diese Intervallschachtelung ist aufgrund von Fakt eindeutig eine reelle Zahl bestimmt.


Definition  

Die reelle Zahl

heißt Eulersche Zahl.

Ihr numerischer Wert ist