Extrema/Nebenbedingung/Teich/Nilpferd/Beispiel

Ein Nilpferd hat die ganze Nacht an Land gegrast und befindet sich gerade im Punkt ${}P=(r,s)\in \mathbb {R} ^{2}$. Jetzt kommt plötzlich die heiße Sonne hervor und es muss möglichst schnell zurück in seinen Teich. Es sucht also den Punkt ${}a=(x,y)\in M$ des Teichufers ${}M$, der seiner momentanen Position am nächsten ist, d.h. es soll die Abstandsfunktion

${}h(x,y)=d(P,(x,y))={\sqrt {(x-r)^{2}+(y-s)^{2}}}\,$

minimiert werden, wobei allerdings nur die Punkte ${}(x,y)\in M$ relevant sind. Es geht also um ein Minimierungsproblem, wobei die Punkte die Nebenbedingung erfüllen müssen, zum Teichufer zu gehören. Das Teichufer werde mit Hilfe der Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$

als

${}M={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid f(x,y)=b\right\}}\,$

zu einem gewissen ${}b\in \mathbb {R}$ beschrieben, d.h., es liegt als Faser einer Funktion vor. Wenn der Teich beispielsweise eine Ellipse ist, so ist ${}f(x,y)=\alpha x^{2}+\beta y^{2}$. Wir nehmen weiter an, dass die Funktion ${}f$ stetig differenzierbar ist und jeder Punkt der Faser regulär ist. Kann man die Punkte des Teichufers, in denen ein lokales Extremum vorliegt, mit Mitteln der Differentialrechnung charakterisieren? Nach dem Satz über implizite Funktionen gibt es lokal eine differenzierbare Parametrisierung des Teichufers, d.h. eine Funktion

$\gamma \colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

auf einem offenen Intervall ${}I$, deren Bild gerade ein Ausschnitt aus dem Teichufer ist. Insgesamt erhält man die zusammengesetzte Funktion

$h\circ \gamma \colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,$

und genau dann besitzt ${}h$ in ${}a\in M$ ein lokales Extremum, wenn ${}h\circ \gamma$ ein lokales Extremum in ${}\gamma ^{-1}(a)\in I$ besitzt. Auf ${}h\circ \gamma$ kann man die Kriterien für lokale Extrema (also Fakt bzw. Fakt) anwenden, da jetzt der Definitionsbereich (man hat die Nebenbedingung sozusagen eliminiert) eine offene Teilmenge von ${}\mathbb {R}$ ist. Wenn ein lokales Extremum vorliegt, so ist einerseits

${}(h\circ \gamma )'(\gamma ^{-1}(a))=\left(Dh\right)_{a}(\gamma '(\gamma ^{-1}(a)))=0\,.$

Andererseits bestimmt ${}\gamma '(\gamma ^{-1}(a))$ den (eindimensionalen) Tangentialraum ${}T_{a}M$, und dieser ist wiederum der Kern des totalen Differentials ${}\left(Df\right)_{a}$. Daher müssen ${}\left(Dh\right)_{a}$ und ${}\left(Df\right)_{a}$ linear abhängig sein. Das Nilpferd muss also nach Punkten ${}a\in M$ Ausschau halten, für die es ein ${}\lambda \in \mathbb {R}$ mit

${}\left(Dh\right)_{a}=\lambda \left(Df\right)_{a}\,$

gibt.