Lokales Extremum/Richtungsableitung/Totales Differential/Fakt

Notwendiges Kriterium für Extrema

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und  ${}G\subseteq V$  eine offene Teilmenge. Es sei

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion, die im Punkt  ${}P\in G$  ein lokales Extremum besitzt. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Wenn ${}f$ in ${}P$ in Richtung  ${}v\in V$  differenzierbar ist, so ist

   ${}{\left(D_{v}f\right)}{\left(P\right)}=0\,.$

2. Wenn ${}f$ in ${}P$ total differenzierbar ist, so verschwindet das totale Differential, also

   ${}\left(Df\right)_{P}=0\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen