Lokales Extremum/Richtungsableitung/Totales Differential/Fakt

Notwendiges Kriterium für Extrema

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und  $G\subseteq V$  eine offene Teilmenge. Es sei

$f:G⟶ℝ$

eine Funktion, die im Punkt  $P\in G$  ein lokales Extremum besitzt. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Wenn $f$ in $P$ in Richtung  $v\in V$  differenzierbar ist, so ist

   $\left(D_{v}f\right)\left(P\right)=0.$

2. Wenn $f$ in $P$ total differenzierbar ist, so verschwindet das totale Differential, also

   ${\left(Df\right)}_P=0.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen