Extrema und Hesse-Form/x+3x^2-2xy-y^2+y^3/Beispiel

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x+3x^{2}-2xy-y^{2}+y^{3}.$

Die partiellen Ableitungen sind

${\frac {\partial f}{\partial x}}=1+6x-2y\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {\partial f}{\partial y}}=-2x-2y+3y^{2}.$

Zur Berechnung der kritischen Punkte dieser Funktion eliminieren wir ${}x$ und erhalten die Bedingung

${}9y^{2}-8y+1=0\,,$

die zu

${}y={\frac {\pm {\sqrt {7}}}{9}}+{\frac {4}{9}}\,$

führt. Die kritischen Punkte sind also

$P_{1}=\left({\frac {2{\sqrt {7}}-1}{54}},\,{\frac {\sqrt {7}}{9}}+{\frac {4}{9}}\right)\,\,{\text{ und }}\,\,P_{2}=\left({\frac {-2{\sqrt {7}}-1}{54}},\,{\frac {-{\sqrt {7}}}{9}}+{\frac {4}{9}}\right).$

Die Hesse-Form ist in einem Punkt ${}Q=(x,y)$ gleich

${}\operatorname {Hess} _{Q}\,f={\begin{pmatrix}6&-2\\-2&-2+6y\end{pmatrix}}\,.$

Zur Bestimmung des Definitheitstyps ziehen wir Fakt heran, wobei der erste Minor, also ${}6$, natürlich positiv ist. Die Determinante der Hesse-Matrix ist

$-16+36y,$

was genau bei ${}y>{\frac {4}{9}}$ positiv ist. Dies ist im Punkt ${}P_{1}$ der Fall, aber nicht im Punkt ${}P_{2}$. Daher ist die Hesse-Matrix im Punkt ${}P_{1}$ nach Fakt positiv definit und somit besitzt die Funktion ${}f$ im Punkt ${}P_{1}$ nach Fakt ein isoliertes lokales Minimum, das zugleich ein globales Minimum ist. In ${}P_{2}$ ist die Determinante negativ, sodass dort die Hesse-Form indefinit ist und somit, wiederum nach Fakt, kein Extremum vorliegen kann.