Bilinearform/Symmetrisch/Minorenkriterium für Typ/Fakt

Minorenkriterium

Es sei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ${}V$ und sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$. Es sei ${}G$ die Gramsche Matrix zu ${}\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basis. Die Determinanten ${}D_{k}$ der quadratischen Untermatrizen

${}M_{k}=(\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle )_{1\leq i,j\leq k}\,$

seien für ${}k=1,\ldots ,n$ von ${}0$ verschieden. Es sei ${}a$ die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge

$D_{0}=1,\,D_{1}=\det M_{1},\,D_{2}=\det M_{2},\ldots ,D_{n}=\det M_{n}=\det G.$

Dann ist ${}\left\langle -,-\right\rangle$ vom Typ ${}(n-a,a)$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen