Funktionenfolge nach K/Konvergenzkriterium mit Supremumsnorm/Fakt/Beweis

Beweis

Sei ${}x\in T$. Wegen ${}\vert {g_{k}(x)}\vert \leq \Vert {g_{k}}\Vert$ ist aufgrund des Majorantenkriteriums die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }g_{k}(x)$ absolut konvergent, und das bedeutet, dass die Funktionenreihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }g_{k}$ punktweise absolut konvergiert.
Wir setzen ${}f_{n}(x):=\sum _{k=0}^{n}g_{k}(x)$ und

${}f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }g_{k}(x)\,.$

Wir wollen zeigen, dass die Funktionenfolge ${}f_{n}$ gleichmäßig gegen ${}f$ konvergiert. Dazu sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Aufgrund des Cauchy-Kriteriums für Reihen gibt es ein ${}n_{0}$ mit

${}\sum _{k=n+1}^{\infty }\Vert {g_{k}}\Vert \leq \epsilon \,$

für alle ${}n\geq n_{0}$. Damit haben wir für ${}n\geq n_{0}$ und jedes ${}x\in T$ insgesamt die Abschätzung

${}\vert {f_{n}(x)-f(x)}\vert =\vert {\sum _{k=n+1}^{\infty }g_{k}(x)}\vert \leq \sum _{k=n+1}^{\infty }\vert {g_{k}(x)}\vert \leq \sum _{k=n+1}^{\infty }\Vert {g_{k}}\Vert \leq \epsilon \,.$

Zur bewiesenen Aussage