Funktionenfolge nach K/Konvergenzkriterium mit Supremumsnorm/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei $x \in T$ . Wegen $| g_{k} (x) | \leq ‖ g_{k} ‖$ ist aufgrund des Majorantenkriteriums die Reihe $\sum_{k = 0}^{\infty} g_{k} (x)$ absolut konvergent, und das bedeutet, dass die Funktionenreihe $\sum_{k = 0}^{\infty} g_{k}$ punktweise absolut konvergiert.
Wir setzen $f_{n} (x) := \sum_{k = 0}^{n} g_{k} (x)$ und

f (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} g_{k} (x) .

Wir wollen zeigen, dass die Funktionenfolge $f_{n}$ gleichmäßig gegen $f$ konvergiert. Dazu sei $ϵ > 0$ vorgegeben. Aufgrund des Cauchy-Kriteriums für Reihen gibt es ein $n_{0}$ mit

\sum_{k = n + 1}^{\infty} ‖ g_{k} ‖ \leq ϵ

für alle $n \geq n_{0}$ . Damit haben wir für $n \geq n_{0}$ und jedes $x \in T$ insgesamt die Abschätzung

| f_{n} (x) - f (x) | = | \sum_{k = n + 1}^{\infty} g_{k} (x) | \leq \sum_{k = n + 1}^{\infty} | g_{k} (x) | \leq \sum_{k = n + 1}^{\infty} ‖ g_{k} ‖ \leq ϵ .

Zur bewiesenen Aussage