Funktionenfolgen/K/Zusammenfassung/Textabschnitt

Definition

Es sei $T$ eine Menge und

f_{n} : T ⟶ 𝕂,

( $n \in ℕ$ ) eine Folge von Funktionen. Man sagt, dass die Funktionenfolge punktweise konvergiert, wenn für jedes $x \in T$ die Folge

{(f_{n} (x))}_{n \in ℕ}

(in $𝕂$ ) konvergiert.

Wenn eine punktweise konvergente Funktionenfolge vorliegt, so wird durch

f (x) := lim_{n \to \infty} f_{n} (x)

eine sogenannte Grenzfunktion $f : T \to 𝕂$ definiert.

Selbst wenn (bei $T \subseteq 𝕂$ ) sämtliche Funktionen $f_{n}$ stetig sind, muss diese Grenzfunktion nicht stetig sein.

Man braucht einen stärkeren Konvergenzbegriff, um die Stetigkeit der Grenzfunktion zu sichern.

Es sei $T$ eine Menge und

f_{n} : T ⟶ 𝕂,

( $n \in ℕ$ ) eine Folge von Funktionen. Man sagt, dass die Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert, wenn es eine Funktion

f : T ⟶ 𝕂

derart gibt, dass es zu jedem $ϵ > 0$ ein $n_{0}$ mit

d (f_{n} (x), f (x)) \leq ϵ für alle n \geq n_{0} und alle x \in T

gibt.

Bei gleichmäßiger Konvergenz liegt insbesondere punktweise Konvergenz vor und die Funktion $f$ aus der vorstehenden Definition ist die Grenzfunktion.

Es sei $T \subseteq 𝕂$

eine Teilmenge und es sei

f_{n} : T ⟶ 𝕂

eine Folge von stetigen Funktionen, die gleichmäßig gegen die Funktion $f$ konvergiert.

Dann ist $f$ stetig.

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