Ganzzahlige Exponentialfunktion/Wachstumsverhalten/Fakt/Beweis

Beweis

1. Sei ${}b>1$ und ${}m>n$. Wir müssen zeigen, dass

   ${}\varphi _{b}(m)=b^{m}>b^{n}=\varphi _{b}(n)\,$

   ist. Nach Fakt  (4) ist

   ${}b^{m}=b^{m-n}\cdot b^{n}\,$

   mit ${}m-n>0$. Wegen Fakt  (8) ist

   ${}b^{m-n}>1\,$

   und daher ist auch

   ${}b^{m}=b^{m-n}\cdot b^{n}>1\cdot b^{n}=b^{n}\,.$

2. Dies folgt aus Teil (1), wenn man die Identität

   ${}b^{n}={\left(b^{-1}\right)}^{-n}\,$

   und Fakt  (3) verwendet.

Zur bewiesenen Aussage