Garbe/Überdeckung/Cech-Ableitung/Definition

Čech-Ableitung

Es sei ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung ${}{\mathcal {U}}$ eines topologischen Raumes ${}X$ mit einer wohlgeordneten Indexmenge ${}I$ und ${}{\mathcal {G}}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen auf ${}X$. Zu ${}k\in \mathbb {N}$ nennt man den Gruppenhomomorphismus

$\delta _{k}\colon {\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})\longrightarrow {\check {C}}^{k+1}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}}),\,s={\left(s_{J}\right)}_{J}\longmapsto \delta _{k}(s)={\left(\delta _{k}(s)_{L}\right)}_{L}$

zwischen den Gruppen der Čech-Koketten, der durch

${}{\left(\delta _{k}(s)\right)}_{L}:=\sum _{\ell =0}^{k+1}(-1)^{\ell }s{|}_{L\setminus \{i_{\ell }\}}\,$

gegeben ist, wobei man ${}L=\{i_{0},i_{1},\ldots ,i_{k+1}\}$ gemäß der Ordnung auf ${}I$ schreibt, die ${}k$-te Čech-Ableitung (zur Garbe ${}{\mathcal {G}}$ und zur Überdeckung).