Garbenmorphismus/Garbensurjektiv/R und Kreis/Beispiel

Wir betrachten den stetigen Gruppenhomomorphismus

$\phi :ℝ⟶S^1,t⟼(\cos t,\sin t),$

also die periodische trigonometrische Parametrisierung des Einheitskreises. Dies induziert einen Garbenmorphismus

$C^0(-,ℝ)⟶C^0(-,S^1)$

auf jedem topologischen Raum $X$. Einer stetigen reellwertigen Funktion $f:U\to ℝ$ auf  $U\subseteq X$  wird die Hintereinanderschaltung

$\phi \circ f:U⟶S^1$

zugeordnet. Dieser Garbenmorphismus ist surjektiv, da $\phi$ lokal umkehrbar ist. Er ist aber im Allgemeinen nicht auf jeder offenen Teilmenge surjektiv. Wenn beispielsweise  $X=S^1$  ist, so besitzt die Identität auf $S^1$ keine stetige Liftung nach $ℝ$