Gewöhnliche Differentialgleichung/Lokal Lipschitz/Eindeutigkeit/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir betrachten die Menge

Wegen ist diese Menge nicht leer. Zu jedem Punkt gibt es nach Fakt eine offene Intervallumgebung , worauf es zu gegebener Anfangsbedingung genau eine Lösung der Differentialgleichung gibt. Wenn ist, so ist und daher stimmen und in einer offenen Umgebung mit der eindeutigen Lösung und damit untereinander überein. Also ist . Dies bedeutet, dass eine offene Teilmenge von ist.
Andererseits sind und stetig und daher ist nach Aufgabe die Menge auch abgeschlossen in .
Da ein Intervall nach Fakt zusammenhängend ist, folgt .

Zur bewiesenen Aussage