Gewöhnliche Differentialgleichung/Lokal Lipschitz/Eindeutigkeit/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten die Menge

${}M={\left\{t\in J\mid v_{1}(t)=v_{2}(t)\right\}}\,.$

Wegen ${}t_{0}\in M$ ist diese Menge nicht leer. Zu jedem Punkt ${}t\in I$ gibt es nach Fakt eine offene Intervallumgebung ${}t\in J'$, worauf es zu gegebener Anfangsbedingung ${}v(t)=v_{0}$ genau eine Lösung der Differentialgleichung gibt. Wenn ${}t\in M$ ist, so ist ${}v_{1}(t)=v_{2}(t)$ und daher stimmen ${}v_{1}$ und ${}v_{2}$ in einer offenen Umgebung ${}t\in J'$ mit der eindeutigen Lösung und damit untereinander überein. Also ist ${}J'\subseteq M$. Dies bedeutet, dass ${}M$ eine offene Teilmenge von ${}J$ ist.
Andererseits sind ${}v_{1}$ und ${}v_{2}$ stetig und daher ist nach Aufgabe die Menge ${}M$ auch abgeschlossen in ${}J$.
Da ein Intervall nach Fakt zusammenhängend ist, folgt ${}M=J$.

Zur bewiesenen Aussage