Gewöhnliche Differentialgleichung/Lokal Lipschitz/Eindeutigkeit/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten die Menge

${}M={\left\{t\in J\mid v_{1}(t)=v_{2}(t)\right\}}\,.$

Wegen  ${}t_{0}\in M$  ist diese Menge nicht leer. Zu jedem Punkt  ${}t\in I$  gibt es nach Fakt eine offene Intervallumgebung  ${}t\in J'$,  worauf es zu gegebener Anfangsbedingung  ${}v(t)=v_{0}$  genau eine Lösung der Differentialgleichung gibt. Wenn  ${}t\in M$  ist, so ist  ${}v_{1}(t)=v_{2}(t)$  und daher stimmen ${}v_{1}$ und ${}v_{2}$ in einer offenen Umgebung  ${}t\in J'$  mit der eindeutigen Lösung und damit untereinander überein. Also ist  ${}J'\subseteq M$.  Dies bedeutet, dass ${}M$ eine offene Teilmenge von ${}J$ ist.
Andererseits sind ${}v_{1}$ und ${}v_{2}$ stetig und daher ist nach Aufgabe die Menge ${}M$ auch abgeschlossen in ${}J$.

Da ein Intervall

nach Fakt zusammenhängend ist, folgt  ${}M=J$. 

Zur bewiesenen Aussage