In homogenen Koordinaten liegt die Abbildung
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vor. Es sei
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die offene Teilmenge, auf der keine Nullstelle besitzt. Für die affine Karte
ergibt sich die Beschreibung
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Da in den Gitterpunkten einen Pol der Ordnung und einen Pol der Ordnung besitzt, ist diese Funktion in die Gitterpunkte holomorph fortsetzbar, und zwar mit dem Wert .
Nach
Fakt
erfüllen und die affine kubische Relation
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daher erfüllt das Bild von die entsprechende homogene kubische Gleichung. Die Glattheit der Kurve wurde in
Bemerkung
festgestellt. Zur Bijektivität. Der einzige Punkt der Kurve außerhalb von ist und dieser entspricht den Gitterpunkten. Wir können uns also auf
und
konzentrieren. Zur Injektivität. Aus
folgt nach
Fakt,
dass
ist, und aus
folgt, dass eine Nullstelle von ist. Diese sind nach
Aufgabe
gleich , wobei Gittererzeuger seien. Diese Elemente stimmen aber modulo mit ihrem Negativen überein.
Zur Surjektivität. Sei
vorgegeben. Nach
Fakt
gibt es
mit
.
Dabei ist
.
Da ungerade ist, ist
oder
.