Gitter/Komplexe Zahlen/Kubische Kurve/Gruppenisomorphismus/Fakt/Beweis

Beweis

Es wurde in Fakt gezeigt, dass eine bijektive Abbildung vorliegt. Die Addition auf der kubischen Kurve ${}V_{+}(F)$ ist dadurch bestimmt, dass die drei Schnittpunkte der Kurve mit einer beliebigen projektiven Geraden die Summe ${}{\mathfrak {O}}$ ergeben, siehe Bemerkung und Definition. Es ist also zu zeigen, dass die Urbilder von drei kolinearen Punkten auf ${}V_{+}(F)$ in ${}{\mathbb {C} }$ sich zu einem Element aus ${}\Gamma$ aufsummieren. Wir betrachten Geraden, die durch eine affine Gleichung der Form ${}y=\alpha x+\beta$ gegeben sind, für andere Geraden siehe Aufgabe. Wir betrachten die elliptische Funktion

${}f(z)=\wp '(z)-\alpha \wp (z)-\beta \,.$

Diese besitzt wie ${}\wp '(z)$ einen einzigen Pol im Nullpunkt der Ordnung ${}3$. Nach Fakt gibt es daher drei Punkte ${}z_{1},z_{2},z_{3}$ mit der Gesamtnullstellenordnung ${}3$ (dabei können die Punkte zusammenfallen). Die positive Nullstellenordnung bedeutet dabei, dass diese Punkte unter ${}\psi$ auf die vorgegebene Gerade abgebildet werden. Nach Fakt ist ${}z_{1}+z_{2}+z_{3}\in \Gamma$. Dies bedeutet ${}[z_{1}]+[z_{2}]+[z_{3}]=[0]$ in ${}{\mathbb {C} }/\Gamma$.

Zur bewiesenen Aussage