Gitter/Komplexe Zahlen/Kubische Kurve/Gruppenisomorphismus/Fakt/Beweis

Beweis

Es wurde in Fakt gezeigt, dass eine bijektive Abbildung vorliegt. Die Addition auf der kubischen Kurve $V_{+}(F)$ ist dadurch bestimmt, dass die drei Schnittpunkte der Kurve mit einer beliebigen projektiven Geraden die Summe $𝔒$ ergeben, siehe Bemerkung und Definition. Es ist also zu zeigen, dass die Urbilder von drei kolinearen Punkten auf $V_{+}(F)$ in $ℂ$ sich zu einem Element aus $\mathrm{\Gamma }$ aufsummieren. Wir betrachten Geraden, die durch eine affine Gleichung der Form  $y=\alpha x+\beta$  gegeben sind, für andere Geraden siehe Aufgabe. Wir betrachten die elliptische Funktion

$f(z)={\mathrm{\wp }}^{\prime }(z)-\alpha \mathrm{\wp }(z)-\beta .$

Diese besitzt wie ${\mathrm{\wp }}^{\prime }(z)$ einen einzigen Pol im Nullpunkt der Ordnung $3$. Nach Fakt gibt es daher drei Punkte $z_1,z_2,z_3$ mit der Gesamtnullstellenordnung $3$ (dabei können die Punkte zusammenfallen). Die positive Nullstellenordnung bedeutet dabei, dass diese Punkte unter $\psi$ auf die vorgegebene Gerade abgebildet werden. Nach Fakt ist  $z_1+z_2+z_3\in \mathrm{\Gamma }$.  Dies bedeutet  $[z_1]+[z_2]+[z_3]=[0]$  in $ℂ/\mathrm{\Gamma }$.

Zur bewiesenen Aussage