Gitter/Komplexe Zahlen/Tate-Modul/Isogenie zwischen/Aufgabe

Es seien ${}\Gamma _{1},\Gamma _{2}\subseteq {\mathbb {C} }$ Gitter und ${}E_{1}={\mathbb {C} }/\Gamma _{1}$, ${}E_{2}={\mathbb {C} }/\Gamma _{2}$, die zugehörigen komplexen Tori. Es sei ${}s\in {\mathbb {C} }$, ${}s\neq 0$, mit ${}s\Gamma _{1}\subseteq \Gamma _{2}$ und es sei

$\varphi \colon E_{1}\longrightarrow E_{2}$

die zugehörige Isogenie (vergleiche Fakt). Es sei ${}\ell$ eine Primzahl. Zeige, dass der zugehörige Homomorphismus der Tate-Moduln

$\varphi _{\ell }\colon T_{\ell }(E_{1})\longrightarrow T_{\ell }(E_{2})$

(siehe Fakt) unter den kanonischen Isomorphismen ${}T_{\ell }(E_{1})\cong \varprojlim _{n\in \mathbb {N} }\Gamma _{1}/\ell ^{n}\Gamma _{1}$ und ${}T_{\ell }(E_{2})\cong \varprojlim _{n\in \mathbb {N} }\Gamma _{2}/\ell ^{n}\Gamma _{2}$ aus Aufgabe mit dem projektiven Limes zu ${}s\colon \Gamma _{1}/\ell ^{n}\Gamma _{1}\rightarrow \Gamma _{2}/\ell ^{n}\Gamma _{2}$

übereinstimmt.

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