Gitter/Komplexe Zahlen/Weierstraßfunktion/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter. Man nennt die meromorphe Funktion

$\wp \colon {\mathbb {C} }\setminus \Gamma \longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto {\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{v\in \Gamma '}{\left({\frac {1}{(z-v)^{2}}}-{\frac {1}{v^{2}}}\right)},$

die Weierstraßsche ${}\wp$-Funktion zum Gitter ${}\Gamma$.

Wir werden gleich begründen, dass diese Funktion auf ${}{\mathbb {C} }\setminus \Gamma$ holomorph und in ${}\Gamma$ meromorph ist.

Lemma

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter.

Dann ist die Weierstraßsche ${}\wp$-Funktion ${}\wp$ elliptisch. Sie besitzt genau in den Gitterpunkten einen Pol der Ordnung ${}-2$. Ihre Ableitung ist ${}\wp '(z)=-2\sum _{v\in \Gamma }(z-v)^{-3}$.

Beweis

Die Ableitung der Summanden ${}{\frac {1}{(z-v)^{2}}}-{\frac {1}{v^{2}}}$ für ${}v\in \Gamma '$ ist ${}-2{\frac {1}{(z-v)^{3}}}$. Ferner ist ${}-2{\frac {1}{z^{3}}}$ die Ableitung des allerersten Summanden. Die summandenweise genommene Ableitung ist also bis auf den Faktor ${}-2$ die Funktion ${}\sum _{v\in \Gamma }(z-v)^{-3}$, die nach Fakt elliptisch ist. Damit ist ${}\wp (z)$ meromorph mit der angegebenen Poleigenschaft. Ferner ist die Funktion gerade, da ihre Ableitung ungerade ist. Zum Nachweis, dass ${}\wp (z)$ selbst elliptisch ist, sei ${}v_{0}$ ein Erzeuger des Gitters. Dann ist

${\frac {\partial (\wp (z+v_{0})-\wp (z))}{\partial z}}=-2{\left(\sum _{v\in \Gamma }(z+v_{0}-v)^{-3}-\sum _{v\in \Gamma }(z-v)^{-3}\right)}=0\,$

und ${}\wp (z+v_{0})-\wp (z)$ ist konstant. Mit ${}z=-{\frac {v_{0}}{2}}$ ergibt sich, dass der Wert dieser Funktion gleich

${}\wp {\left(-{\frac {v_{0}}{2}}+v_{0}\right)}-\wp {\left(-{\frac {v_{0}}{2}}\right)}=\wp {\left({\frac {v_{0}}{2}}\right)}-\wp {\left(-{\frac {v_{0}}{2}}\right)}=\wp {\left({\frac {v_{0}}{2}}\right)}-\wp {\left({\frac {v_{0}}{2}}\right)}=0\,$

ist.

$\Box$