Glatte projektive Kurve/C/Riemannsche Fläche/Geschlecht/Übereinstimmung/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Fakt kann man die erste Kohomologie der holomorphen Strukturgarbe durch

$H^{1}(X_{\text{an}},{\mathcal {O}}_{X_{\text{an}}})\cong \Gamma {\left(X_{\text{an}},{\mathcal {T}}_{\text{an}}\right)}/\operatorname {bild} {\left(\Gamma {\left(X_{\text{an}},{\mathcal {M}}\right)}\rightarrow \Gamma {\left(X_{\text{an}},{{\mathcal {T}}_{\text{an}}}\right)}\right)}\,$

berechnen. In der algebraischen Situation gibt es die kurze exakte Garbensequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X_{\text{alg}}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,K\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,K/{\mathcal {O}}_{X_{\text{alg}}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0,$

wobei ${}K$ die konstante Garbe auf der Zariski-Topologie mit dem Funktionenkörper ${}K$ bezeichnet. Diese Garbe ist insbesondere welk und ihre erste Kohomologie verschwindet daher. Die Quotientengarbe ${}K/{\mathcal {O}}_{X_{\text{alg}}}$ kann man punktweise berechnen, die Halme in einem Punkt ${}P$ sind ${}K/{\mathcal {O}}_{X_{\text{alg}},P}$. Da ${}{\mathcal {O}}_{X_{\text{alg}},P}$ ein diskreter Bewertungsring mit einer Ortsuniformisierenden ${}\pi$ und ${}K$ sein Quotientenkörper mit ${}K=R_{\pi }$ ist, gilt

${}K/R\cong \bigoplus _{i\in \mathbb {Z} _{-}}{\mathbb {C} }\pi ^{-i}\,$

nach Aufgabe. Es liegt also die gleiche Hauptteilstruktur wie im analytischen Fall vor. Somit stimmt die Garbe der analytischen Hauptteilverteilungen mit der Garbe der algebraischen Hauptteilverteilungen (wo sie definiert ist) überein. Nach Fakt ist

${}\Gamma {\left(X_{\text{an}},{\mathcal {M}}\right)}=K\,,$

also hat man für ${}H^{1}(X_{\text{an}},{\mathcal {O}}_{X_{\text{an}}})$ und ${}H^{1}(X_{\text{alg}},{\mathcal {O}}_{X_{\text{alg}}})$ identische Beschreibungen.

Zur bewiesenen Aussage