Glatte projektive Kurve/Differentielles Geschlecht/Elliptisch/Kurzüberblick/Textabschnitt

Definition

Zu einer glatten projektiven Kurve ${}C$ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ nennt man

${}g:=\dim _{K}{\left(H^{0}{\left(C,\Omega _{C{|}K}\right)}\right)}\,$

das differentielle Geschlecht der Kurve.

Beim differentiellen Geschlecht geht es also um die maximale Anzahl an linear unabhängigen globalen Differentialformen auf der Kurve. Auf einer Varietät bilden die Differentialformen eine Garbe, die globalen Differentialformen sind einfach die globalen Schnitte davor. Ohne den Garbenbegriff kann man das für eine Kurve ${}C$ mit Funktionenkörper ${}Q(C)$ auch so formulieren: Es geht um die rationalen Differentialformen, also Elemente aus ${}\Omega _{Q(C){|}K}$, die in jedem Punkt ${}P\in C$ zu ${}\Omega _{{\mathcal {O}}_{C,P}{|}K}$ gehören. Nach Fakt ist das differentielle Geschlecht einer elliptischen Kurve gleich ${}1$, die bis auf skalare Vielfache einzige globale Differentialform ist, wenn die Kurve in Weierstraß-Form ${}y^{2}=x^{3}+ax+b$ gegeben ist,

${}{\frac {dy}{3x^{2}+a}}={\frac {dx}{2y}}\,.$

Auf der projektiven Geraden gibt es außer der ${}0$ keine globalen Differentialformen, ihr differentielles Geschlecht ist also ${}0$.

Da die Garbe ${}\Omega _{C{|}K}$ invertierbar ist, bedeutet differentielles Geschlecht ${}1$ direkt, dass der zu einer nichttrivialen Differentialform ${}\omega \in H^{0}{\left(C,\Omega _{C{|}K}\right)}$ definierte Garbenhomomorphismus

${\mathcal {O}}_{C}\longrightarrow \Omega _{C{|}K}$

sogar ein Isomorphismus ist, da dies eindimensional lokal stets gilt. In diesem Fall ist also die Garbe der Kähler-Differentiale, die man auch die kanonische Garbe nennt, isomorph zur Strukturgarbe.