Gleichmäßig stetig/K/Stetige Fortsetzung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

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Aufgrund von Fakt genügt es zu zeigen, dass der Grenzwert für jedes existiert. Sei eine Folge in , die gegen konvergiert. Wir zeigen, dass dann auch die Bildfolge konvergiert. Da diese Bildfolge in ist, und vollständig ist, genügt es zu zeigen, dass eine Cauchy-Folge vorliegt. Sei vorgegeben. Wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von gibt es ein derart, dass für alle mit

ist. Wegen der Konvergenz der Folge gibt es ein mit für alle . Für alle gilt daher und somit insgesamt


Wir müssen nun noch zeigen, dass für jede gegen konvergente Folge der Grenzwert der Bildfolge gleich ist. Dies ergibt sich aber sofort, wenn man für zwei Folgen und

die Folge betrachtet, die ebenfalls gegen konvergiert, und für die der Limes der Bildfolge mit den Limiten der Teilbildfolgen übereinstimmt.
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