Gleichungen/Eine Variable/Umformungen/Textabschnitt

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Eine wichtige Methode, Gleichungen zu lösen, besteht darin, sie umzuformen, indem man in der Gleichung beidseitig die gleiche Rechenoperation durchführt.



Satz  

Es sei

eine Gleichung in der Variablen über einem gegebenen Zahlenbereich . Es sei

eine Abbildung. Dann gelten die folgenden Eigenschaften.

  1. Wenn eine Lösung der Gleichung ist, so ist auch eine Lösung der umgeformten Gleichung
  2. Wenn injektiv ist, so ist genau dann eine Lösung der Gleichung, wenn eine Lösung der umgeformten Gleichung

    ist.

Beweis  

  1. Wenn

    ist, so ist auch

    da ja eine Abbildung wohldefiniert auf den Elementen ist, und nicht irgendwie von der Darstellung des Elementes abhängt.

  2. Dies ist eine unmittelbare Anwendung der Injektivität von .


Wichtige elementare Anwendungen dieses Prinzips sind, dass man zu einer Gleichung (über den natürlichen, ganzen, reellen Zahlen) beidseitig eine natürliche Zahl hinzuaddieren oder beidseitig mit einer von verschiedenen Zahl multiplizieren darf darf. Die Injektivität ergibt sich aus der Abziehregel bzw. aus der Kürzungsregel. Bei einer injektiven Abbildung ergibt sich also eine lösungsäquivalente Gleichung, man spricht von Äquivalenzumformungen. Bei einer nicht injektiven Abbildung liefert die umgeformte Gleichung nur eine notwendige Bedingung für eine Lösung der ursprünglichen Gleichung.


Beispiel  

Auf die Gleichung

kann man beidseitig die Addition (die bijektiv ist) loslassen und erhält die umgeformte Gleichung

Vereinfachungen führen auf die Lösung


Bemerkung  

Sei eine Gleichung der Form

gegeben. Wir betrachten Gleichungsumformungen, die nicht auf einer injektiven Abbildung beruhen. Als Extremfall betrachten wir die Multiplikation mit , die ja aufgrund der Annullationsregel alles auf abbildet und somit hochgradig nicht injektiv ist. Die umgeformte Gleichung ist

also einfach

Diese Gleichung wird natürlich von jedem erfüllt, zum Auffinden der Lösungen der Ursprungsgleichung liefert diese Umformung keinen sinnvollen Beitrag.

Betrachten wir das Quadrieren, d.h. wir gehen von der gegebenen Gleichung zu

über. Über den natürlichen Zahlen ist das Quadrieren eine injektive Abbildung, aber nicht auf den ganzen Zahlen. Die Gleichung

hat offenbar die einzige Lösung

dagegen hat die quadrierte Gleichung

die beiden Lösungen