Gleichungen/Eine Variable/Umformungen/Textabschnitt

Eine wichtige Methode, Gleichungen zu lösen, besteht darin, sie umzuformen, indem man in der Gleichung beidseitig die gleiche Rechenoperation durchführt.

Satz

Es sei

${}f(x)=g(x)\,$

eine Gleichung in der Variablen ${}x$ über einem gegebenen Zahlenbereich ${}M$. Es sei

$\varphi \colon M\longrightarrow M$

eine Abbildung. Dann gelten die folgenden Eigenschaften.

1. Wenn ${}a\in M$ eine Lösung der Gleichung ist, so ist ${}a$ auch eine Lösung der umgeformten Gleichung

   ${}\varphi (f(x))=\varphi (g(x))\,.$

2. Wenn ${}\varphi$ injektiv ist, so ist ${}a\in M$ genau dann eine Lösung der Gleichung, wenn ${}a$ eine Lösung der umgeformten Gleichung

   ${}\varphi (f(x))=\varphi (g(x))\,$

   ist.

Beweis

1. Wenn

   ${}f(a)=g(a)\,$

   ist, so ist auch

   ${}\varphi (f(a))=\varphi (g(a))\,,$

   da ja eine Abbildung wohldefiniert auf den Elementen ist, und nicht irgendwie von der Darstellung des Elementes abhängt.

2. Dies ist eine unmittelbare Anwendung der Injektivität von ${}\varphi$.

$\Box$

Wichtige elementare Anwendungen dieses Prinzips sind, dass man zu einer Gleichung (über den natürlichen, ganzen, reellen Zahlen) beidseitig eine natürliche Zahl hinzuaddieren oder beidseitig mit einer von ${}0$ verschiedenen Zahl multiplizieren darf. Die Injektivität ergibt sich aus der Abziehregel bzw. aus der Kürzungsregel. Bei einer injektiven Abbildung ergibt sich also eine lösungsäquivalente Gleichung, man spricht von Äquivalenzumformungen. Bei einer nicht injektiven Abbildung liefert die umgeformte Gleichung nur eine notwendige Bedingung für eine Lösung der ursprünglichen Gleichung.

Beispiel

Auf die Gleichung

${}x-3=10\,$

kann man beidseitig die Addition ${}+3$ (die bijektiv ist) loslassen und erhält die umgeformte Gleichung

${}x-3+3=10+3\,.$

Vereinfachungen führen auf die Lösung

${}x=13\,.$

Bemerkung  

Es sei eine Gleichung der Form

${}f(x)=g(x)\,$

gegeben. Wir betrachten Gleichungsumformungen, die nicht auf einer injektiven Abbildung beruhen. Als Extremfall betrachten wir die Multiplikation mit ${}0$, die ja aufgrund der Annullationsregel alles auf ${}0$ abbildet und somit hochgradig nicht injektiv ist. Die umgeformte Gleichung ist

${}0\cdot f(x)=0\cdot g(x)\,,$

also einfach

${}0=0\,.$

Diese Gleichung wird natürlich von jedem ${}x$ erfüllt, zum Auffinden der Lösungen der Ursprungsgleichung liefert diese Umformung keinen sinnvollen Beitrag.

Betrachten wir das Quadrieren, d.h. wir gehen von der gegebenen Gleichung zu

${}(f(x))^{2}=(g(x))^{2}\,$

über. Über den natürlichen Zahlen ist das Quadrieren eine injektive Abbildung, aber nicht auf den ganzen Zahlen. Die Gleichung

${}x=3\,$

hat offenbar die einzige Lösung

${}x=3\,,$

dagegen hat die quadrierte Gleichung

${}x^{2}=9\,$

die beiden Lösungen

${}x=3,-3\,.$