Graduierte Algebra/Körper/Charakter definiert Automorphismus/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

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Zu jedem Charakter

ist die durch

definierte Abbildung mit der Addition verträglich. Die Verträglichkeit mit der Multiplikation folgt für homogene Elemente und aus

woraus sich aufgrund des Distributivgesetzes auch der allgemeine Fall ergibt. Für (und insbesondere für ) ist ferner , so dass ein -Algebrahomomorphismus vorliegt.
Der triviale (konstante) Charakter geht bei dieser Zuordnung auf die Identität. Es seien nun zwei Charaktere gegeben. Für ein homogenes Element ist

so dass die Gesamtzuordnung mit den Verknüpfungen verträglich ist. Daher gilt auch

so dass jedes ein -Algebraautomorphismus und die Gesamtzuordnung ein Gruppenhomomorphismus ist.
Die Injektivität ergibt sich unter Verwendung von Fakt folgendermaßen. Bei gibt es ein mit . Nach Voraussetzung ist

sei also , . Damit ist , da eine Einheit ist. Also ist

.
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