Graduierte Körpererweiterung/Einheitswurzeln/Galoiskorrespondenz/Fakt/Beweis

Beweis

Die Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ ist nach Fakt eine Galoiserweiterung mit Galoisgruppe ${}G=\operatorname {Char} \,(D,K)$. Da ${}K$ hinreichend viele Einheitswurzeln besitzt, entsprechen sich die Untergruppen von ${}D$ und von ${}G$ über die Charakter-Korrespondenz

$E\longmapsto E^{\perp }={\left\{\chi \in G\mid \chi (d)=1{\text{ für alle }}d\in E\right\}}$

und

$H\longmapsto H^{\perp }={\left\{d\in D\mid \chi (d)=1{\text{ für alle }}\chi \in H\right\}}.$

Zu jeder Untergruppe ${}E\subseteq D$ ist ${}\bigoplus _{d\in E}L_{d}$ ein Zwischenkörper. Da wegen der Galoiskorrespondenz die Anzahl der Zwischenkörper mit der Anzahl der Untergruppen der Galoisgruppe, und diese mit der Anzahl der Untergruppen in ${}D$ übereinstimmt, ist jeder Zwischenkörper von dieser Form und insbesondere graduiert.

Zur bewiesenen Aussage