Graduierte Körpererweiterung/Q(sqrt(2), sqrt(3))/Zwischenkörper/Diagramm/Beispiel

Wir knüpfen an Beispiel an. Aufgrund von Fakt liegt eine Galoiserweiterung vor. Die graduierende Gruppe ist  $D=\mathbb{Z}/(2)\times \mathbb{Z}/(2)$.  Neben der trivialen Untergruppe und $D$ selbst gibt es noch die drei Untergruppen $\{(0,0),(1,0)\},\{(0,0),(0,1)\},\{(0,0),(1,1)\}$, die den Zwischenkörpern

$\mathbb{Q},\mathbb{Q}(\sqrt{2}),\mathbb{Q}(\sqrt{3}),\mathbb{Q}(\sqrt{6}),L$

entsprechen. Wegen Fakt gibt es keine weiteren Zwischenkörper. Die Galoisgruppe ist  $G=D^{\vee }\cong \mathbb{Z}/(2)\times \mathbb{Z}/(2)$  nach Fakt. Zur Untergruppe  $E=\{(0,0),(1,0)\}\subseteq D$  gehört dabei $E^{\perp }$ (das der Galoisgruppe $\mathrm{Gal}(L_E/\mathbb{Q})$ entspricht), das aus dem konstanten Charakter und der Abbildung

$\chi :D⟶{\mathbb{Q}}^{\times }$

besteht, die $E$ auf $1$ und $D\setminus E$ auf $-1$ abbildet. Dazu gehört wiederum der durch

$1⟼1,\sqrt{2}⟼\sqrt{2},\sqrt{3}⟼-\sqrt{3},\sqrt{6}⟼-\sqrt{6}$

festgelegte $\mathbb{Q}$-Automorphismus $\phi$.