Graduierte Körpererweiterung/Q(sqrt(2), sqrt(3))/Zwischenkörper/Diagramm/Beispiel

Wir knüpfen an Beispiel an. Aufgrund von Fakt liegt eine Galoiserweiterung vor. Die graduierende Gruppe ist ${}D=\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$. Neben der trivialen Untergruppe und ${}D$ selbst gibt es noch die drei Untergruppen ${}\{(0,0),(1,0)\},\,\{(0,0),(0,1)\},\,\{(0,0),(1,1)\}$, die den Zwischenkörpern

$\mathbb {Q} ,\,\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}),\,\mathbb {Q} ({\sqrt {3}}),\,\mathbb {Q} ({\sqrt {6}}),\,L$

entsprechen. Wegen Fakt gibt es keine weiteren Zwischenkörper. Die Galoisgruppe ist ${}G=D^{\vee }\cong \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$ nach Fakt. Zur Untergruppe ${}E=\{(0,0),(1,0)\}\subseteq D$ gehört dabei ${}E^{\perp }$ (das der Galoisgruppe $\operatorname {Gal} \,(L_{E}{|}\mathbb {Q} )$ entspricht), das aus dem konstanten Charakter und der Abbildung

$\chi \colon D\longrightarrow \mathbb {Q} ^{\times }$

besteht, die ${}E$ auf ${}1$ und ${}D\setminus E$ auf ${}-1$ abbildet. Dazu gehört wiederum der durch

$1\longmapsto 1,\,{\sqrt {2}}\longmapsto {\sqrt {2}},\,{\sqrt {3}}\longmapsto -{\sqrt {3}},\,{\sqrt {6}}\longmapsto -{\sqrt {6}}$

festgelegte ${}\mathbb {Q}$-Automorphismus ${}\varphi$.