Gruppenhomomorphismus/Surjektiv und Restklassengruppe/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir wenden Fakt auf  $Q=G/\mathrm{kern}\phi$  und die kanonische Projektion $q:G\to G/\mathrm{kern}\phi$ an. Dies induziert einen Gruppenhomomorphismus

$\tilde{\phi }:G/\mathrm{kern}\phi ⟶H$

mit  $\phi =\tilde{\phi }\circ q$,  der surjektiv ist. Es sei $[x]\in G/\mathrm{kern}\phi$ und $[x]\in \mathrm{kern}\tilde{\phi }$. Dann ist

$\tilde{\phi }([x])=\phi (x)=e_H,$

also  $x\in \mathrm{kern}\phi$.  Damit ist  $[x]=e_Q$,  d.h. der Kern von $\tilde{\phi }$ ist trivial und nach Fakt

ist $\tilde{\phi }$ auch injektiv.

Zur gelösten Aufgabe