Gruppenhomomorphismus/Surjektiv und Restklassengruppe/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir wenden Fakt auf ${}Q=G/\operatorname {kern} \varphi$ und die kanonische Projektion ${}q\colon G\rightarrow G/\operatorname {kern} \varphi$ an. Dies induziert einen Gruppenhomomorphismus

${\tilde {\varphi }}\colon G/\operatorname {kern} \varphi \longrightarrow H$

mit ${}\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ q$, der surjektiv ist. Sei ${}[x]\in G/\operatorname {kern} \varphi$ und ${}[x]\in \operatorname {kern} {\tilde {\varphi }}$. Dann ist

${}{\tilde {\varphi }}([x])=\varphi (x)=e_{H}\,,$

also ${}x\in \operatorname {kern} \varphi$. Damit ist ${}[x]=e_{Q}$, d.h. der Kern von ${}{\tilde {\varphi }}$ ist trivial und nach Fakt

ist ${}{\tilde {\varphi }}$ auch injektiv.

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