Gruppenisomorpismen/Automorphismus/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen. Einen bijektiven Gruppenhomomorphismus

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

nennt man einen Isomorphismus (oder eine Isomorphie). Die beiden Gruppen heißen isomorph, wenn es einen Isomorphismus zwischen ihnen gibt.

Bijektive lineare Abbildungen sind insbesondere Gruppenisomorphismen.

Lemma

Seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein Gruppenisomorphismus.

Dann ist auch die Umkehrabbildung

$\varphi ^{-1}\colon H\longrightarrow G,\,h\longmapsto \varphi ^{-1}(h),$

ein Gruppenisomorphismus.

Beweis

Dies folgt aus

${}{\begin{aligned}\varphi ^{-1}(h_{1}h_{2})&=\varphi ^{-1}{\left(\varphi (\varphi ^{-1}(h_{1}))\varphi (\varphi ^{-1}(h_{2}))\right)}\\&=\varphi ^{-1}{\left(\varphi {\left(\varphi ^{-1}(h_{1})\varphi ^{-1}(h_{2})\right)}\right)}\\&=\varphi ^{-1}(h_{1})\varphi ^{-1}(h_{2}).\end{aligned}}$

$\Box$

Beispiel

Betrachte die additive Gruppe der reellen Zahlen, also ${}(\mathbb {R} ,0,+)$, und die multiplikative Gruppe der positiven reellen Zahlen, also ${}(\mathbb {R} _{+},1,\cdot )$. Dann ist die Exponentialabbildung

$\exp \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto \exp(x),$

ein Gruppenisomorphismus. Dies beruht auf grundlegenden analytischen Eigenschaften der Exponentialfunktion. Die Homomorphieeigenschaft ist lediglich eine Umformulierung des Exponentialgesetzes

${}\exp(x+y)=e^{x+y}=e^{x}e^{y}=\exp(x)\exp(y)\,.$

Die Injektivität der Abbildung folgt aus der strengen Monotonie, die Surjektivität folgt aus dem Zwischenwertsatz. Die Umkehrabbildung ist der natürliche Logarithmus, der somit ebenfalls ein Gruppenisomorphismus ist.

Isomorphe Gruppen sind bezüglich ihrer gruppentheoretischen Eigenschaften als gleich anzusehen. Isomorphismen einer Gruppe auf sich selbst nennt man auch Automorphismen. Die Menge aller Automorphismen auf ${}G$ bildet mit der Hintereinanderschaltung eine Gruppe, die man mit ${}\operatorname {Aut} \,G$ bezeichnet und die die Automorphismengruppe zu ${}G$ nennt. Wichtige Beispiele für Automorphismen sind die sogenannten inneren Automorphismen.

Definition

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}g\in G$ fixiert. Die durch ${}g$ definierte Abbildung

$\kappa _{g}\colon G\longrightarrow G,\,x\longmapsto gxg^{-1},$

heißt innerer Automorphismus.

Diese Abbildung ${}\kappa _{g}$ heißt auch die Konjugation mit ${}g$. Wenn ${}G$ eine kommutative Gruppe ist, so ist wegen ${}gxg^{-1}=xgg^{-1}=x$ die Identität der einzige innere Automorphismus. Der Begriff ist also nur bei nicht kommutativen Gruppen von Interesse.

Lemma

Ein innerer Automorphismus ist in der Tat

ein Automorphismus.

Die Zuordnung

$G\longrightarrow \operatorname {Aut} \,G,\,g\longmapsto \kappa _{g},$

ist ein Gruppenhomomorphismus.

Beweis

Es ist

${}\kappa _{g}(xy)=gxyg^{-1}=gxg^{-1}gyg^{-1}=\kappa _{g}(x)\kappa _{g}(y)\,,$

sodass ein Gruppenhomomorphismus vorliegt. Wegen

${}\kappa _{g}(\kappa _{h}(x))=\kappa _{g}(hxh^{-1})=ghxh^{-1}g^{-1}=ghx(gh)^{-1}=\kappa _{gh}\,$

ist einerseits

${}\kappa _{g^{-1}}\circ \kappa _{g}=\kappa _{g^{-1}g}=\operatorname {Id} _{G}\,,$

sodass ${}\kappa _{g}$ bijektiv, also ein Automorphismus, ist. Andererseits ist deshalb die Gesamtabbildung ${}\kappa$ ein Gruppenhomomorphismus.

$\Box$

Beispiel

Zu einer fixierten invertierbaren Matrix ${}B\in \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ ist die Konjugation

$\kappa _{B}\colon \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}\longrightarrow \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)},\,M\longmapsto BMB^{-1},$

gerade diejenige Abbildung, die der beschreibenden Matrix ${}M$ zu einer linearen Abbildung bezüglich einer Basis die beschreibende Matrix bezüglich einer neuen Basis zuordnet.