Gruppenoperation auf Ring/Invariantes Ideal/Beziehungen/Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, auf dem eine Gruppe ${}G$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Es sei ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal, das unter der Gruppenoperation invariant ist (es gelte also ${}f\sigma \in {\mathfrak {a}}$ für ${}f\in {\mathfrak {a}}$ und jedes ${}\sigma \in G$). Zeige die folgenden Aussagen.

1. Es gibt eine natürliche Operation von ${}G$ auf dem Restklassenring ${}R/{\mathfrak {a}}$.
2. Es gibt einen Ringhomomorphismus

   $\psi \colon R^{G}/{\left({\mathfrak {a}}\cap R^{G}\right)}\longrightarrow {\left(R/{\mathfrak {a}}\right)}^{G}.$

3. Die Abbildung ${}\psi$ aus Teil (2) ist injektiv.
4. Wenn ${}G$ endlich ist und ${}R$ einen Körper der Charakteristik ${}0$ enthält, so ist ${}\psi$ surjektiv.

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