Gruppentheorie/Gleichungen/Einführung/Textabschnitt

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Wir besprechen Gruppen. Mit dieser Struktur kann man viele strukturelle Gemeinsamkeiten zwischen der Menge der bijektiven Abbildungen auf einer Menge oder der Addition in einem kommutativen Ring wie oder der Multiplikation in einem Körper, wenn man die herausnimmt (wie in oder in ), erfassen.


Definition  

Eine Menge mit einem ausgezeichneten Element und mit einer Verknüpfung

heißt Gruppe, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

  1. Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle gilt
  2. Das Element ist ein neutrales Element, d.h. für alle gilt
  3. Zu jedem gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein mit

Eine Gruppe ist also ein Monoid, in dem jedes Element ein inverses Element besitzt.


Definition  

Eine Gruppe heißt kommutativ (oder abelsch), wenn die Verknüpfung kommutativ ist, wenn also für alle gilt.



Lemma  

Es sei eine Gruppe.

Dann ist zu jedem das Element mit

eindeutig bestimmt.

Beweis  

Sei

und

Dann ist


Allgemeiner gilt in Gruppen die eindeutige Lösbarkeit von mit der Verknüpfung formulierten Gleichungen.



Lemma  

Sei eine Gruppe.

Dann besitzen zu je zwei Gruppenelementen die beiden Gleichungen

eindeutige Lösungen .

Beweis  

Wir betrachten die linke Gleichung. Aus beidseitiger Multiplikation mit (bzw. mit ) von links folgt, dass nur

als Lösung in Frage kommt. Wenn man dies einsetzt, so sieht man, dass es sich in der Tat um eine Lösung handelt.