Höhere Richtungsableitungen/K/Einführung/Textabschnitt

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Es seien und endlichdimensionale -Vektorräume und eine offene Teilmenge. Für eine Abbildung und einen fixierten Vektor ist die Richtungsableitung in Richtung (falls diese existiert) selbst eine Abbildung

Als solche ergibt es Sinn zu fragen, ob in Richtung differenzierbar ist. Wir sprechen dann von höheren Ableitungen. Dies wird präzisiert durch die folgende induktive Definition.


Definition  

Es seien und endlichdimensionale -Vektorräume,

eine Abbildung auf einer offenen Menge und Vektoren in . Man sagt, dass die höhere Richtungsableitung von in Richtung existiert, wenn die höhere Richtungsableitung in Richtung existiert und davon die Richtungsableitung in Richtung existiert. Sie wird mit

bezeichnet.

Mit partiellen Ableitungen schreibt man höhere Ableitungen als


Definition  

Es seien und endlichdimensionale -Vektorräume und

eine Abbildung auf einer offenen Menge . Man sagt, dass -mal stetig differenzierbar ist, wenn für jede Auswahl von Vektoren aus die höhere Richtungsableitung

in Richtung existiert und stetig ist.

Einmal stetig differenzierbar bedeutet also, dass die Richtungsableitung in jede Richtung existiert und stetig ist.