Harmonischer Oszillator/Differentialgleichungssystem/Beispiel

Wir betrachten die Bewegung eines Punktes auf der Geraden, wobei die Lage des Punktes proportional zur auf ihn wirkenden Kraft (bzw. Beschleunigung) in Richtung des Nullpunkts sein soll. Wenn der Punkt sich in ${}\mathbb {R} _{+}$ befindet und sich in die positive Richtung bewegt, so wirkt diese Kraft bremsend, wenn er sich in die negative Richtung bewegt, so wirkt die Kraft beschleunigend. Mit der Proportionalitätskonstante ${}1$ gelangt man zur linearen Differentialgleichung (zweiter Ordnung)

${}y^{\prime \prime }=-y\,,$

die diesen Bewegungsvorgang beschreibt. Als Anfangsbedingung wählen wir ${}y(0)=0$ und ${}y'(0)=v$, zum Zeitpunkt ${}0$ soll die Bewegung also durch den Nullpunkt gehen und dort die Geschwindigkeit ${}v$ besitzen. Man kann sofort die Lösung

${}y(t)=v\cdot \sin t\,$

angeben. Wir werden diese Lösung mit den Lösungsmethoden für lineare Differentialgleichungen herleiten. Die Differentialgleichung führt zum linearen Differentialgleichungssystem

${}{\begin{pmatrix}y_{0}'\\y_{1}'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}y_{1}\\-y_{0}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y_{0}\\y_{1}\end{pmatrix}}\,.$

Das charakteristische Polynom ist

${}x^{2}+1=(x-{\mathrm {i} })(x+{\mathrm {i} })\,,$

und Eigenvektoren sind ${}{\begin{pmatrix}1\\{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}$ (zum Eigenwert ${}{\mathrm {i} }$) und ${}{\begin{pmatrix}1\\-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}$ (zum Eigenwert ${}-{\mathrm {i} }$). Die allgemeine komplexe Lösung ist also nach Fakt gleich

${}{\begin{pmatrix}y_{0}(t)\\y_{1}(t)\end{pmatrix}}=c_{1}e^{{\mathrm {i} }t}{\begin{pmatrix}1\\{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}+c_{2}e^{-{\mathrm {i} }t}{\begin{pmatrix}1\\-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\,,$

wobei letztlich nur der Realteil der ersten Zeile interessiert. Die Anfangsbedingung führt zu

$c_{1}+c_{2}=0\,\,{\text{ und }}\,\,c_{1}{\mathrm {i} }-c_{2}{\mathrm {i} }=v.$

Also ist ${}c_{2}=-c_{1}$ und ${}c_{1}={\frac {v}{2{\mathrm {i} }}}$. Daher ist die Lösung

${}{\frac {v}{2{\mathrm {i} }}}e^{{\mathrm {i} }t}-{\frac {v}{2{\mathrm {i} }}}e^{-{\mathrm {i} }t}=v\cdot \sin t\,$

nach Fakt.