Hauptachsentransformation/Hermitesch/Orthonormalsystem/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Fakt  (2) und Fakt  (4) ist

${}\Psi =\Psi _{\varphi }\,$

für einen selbstadjungierten Endomorphismus

$\varphi \colon V\longrightarrow V.$

Nach Fakt gibt es eine Orthonormalbasis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ aus Eigenvektoren zu ${}\varphi$ mit den Eigenwerten ${}\lambda _{i}$. Für diese Basis gilt

${}\Psi (v_{i},v_{j})=\Psi _{\varphi }(v_{i},v_{j})=\left\langle \varphi (v_{i}),v_{j}\right\rangle =\left\langle \lambda _{i}v_{i},v_{j}\right\rangle =\lambda _{i}\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle \,.$

Daher liegt auch eine Orthogonalbasis bezüglich ${}\Psi$ vor.

Zur bewiesenen Aussage