Beweis
Nach
Fakt
zerfällt das
charakteristische Polynom
von
in reelle Linearfaktoren. Es seien
die positiven Nullstellen und
die negativen Nullstellen. Nach
Fakt
liegt eine direkte, bezüglich des Skalarproduktes orthogonale Summenzerlegung
-

vor
(wobei
der Nullraum sein kann).
Für Vektoren
und
aus verschiedenen Eigenräumen ist
-

sodass die Eigenräume auch bezüglich der Form
orthogonal sind. Für
-

mit
ist

Auf diesem Unterraum ist also die eingeschränkte Form
positiv definit,
sodass
-

ist. Wäre
echt größer als diese Dimension, so würde es einen
-dimensionalen Untervektorraum
derart geben, dass die Einschränkung von
darauf positiv definit ist und so, dass nach
Fakt
-

ist. Dies ergibt direkt einen Widerspruch, da auf dem rechten Raum die Form
negativ semidefinit ist. Also ist
-

Die Argumentation für
verläuft gleich.