Beweis
Nach
Fakt
zerfällt das
charakteristische Polynom
von in reelle Linearfaktoren. Es seien die positiven Nullstellen und
die negativen Nullstellen. Nach
Fakt
liegt eine direkte, bezüglich des Skalarproduktes orthogonale Summenzerlegung
-
vor
(wobei der Nullraum sein kann).
Für Vektoren
und
aus verschiedenen Eigenräumen ist
-
sodass die Eigenräume auch bezüglich der Form orthogonal sind. Für
-
mit
ist
Auf diesem Unterraum ist also die eingeschränkte Form
positiv definit,
sodass
-
ist. Wäre echt größer als diese Dimension, so würde es einen -dimensionalen Untervektorraum
derart geben, dass die Einschränkung von darauf positiv definit ist und so, dass nach
Fakt
-
ist. Dies ergibt direkt einen Widerspruch, da auf dem rechten Raum die Form negativ semidefinit ist. Also ist
-
Die Argumentation für verläuft gleich.