Hermitesche Form/Typ über selbstadjungierten Endomorphismus/Fakt/Beweis

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Beweis

Nach Fakt zerfällt das charakteristische Polynom von in reelle Linearfaktoren. Es seien die positiven Nullstellen und die negativen Nullstellen. Nach Fakt liegt eine direkte, bezüglich des Skalarproduktes orthogonale Summenzerlegung

vor (wobei der Nullraum sein kann). Für Vektoren und aus verschiedenen Eigenräumen ist

so dass die Eigenräume auch bezüglich der Form orthogonal sind. Für

mit ist

Auf diesem Unterraum ist also die eingeschränkte Form positiv definit, so dass

ist. Wäre echt größer als diese Dimension, so würde es einen -dimensionalen Untervektorraum derart geben, dass die Einschränkung von darauf positiv definit ist und so, dass nach Fakt

ist. Dies ergibt direkt einen Widerspruch, da auf dem rechten Raum die Form negativ semidefinit ist. Also ist

Die Argumentation für verläuft gleich.

Zur bewiesenen Aussage