Hilbertraum/Stetiger Dualraum/Isometrie/Fakt/Beweis

Beweis

Zu jedem ${}w\in V$ ist die Auswertung

$V\longrightarrow {\mathbb {K} },\,v\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$

stetig nach Aufgabe. Es ist daher klar, dass eine lineare Abbildung von ${}V$ nach ${}V'$ vorliegt. Die Injektivität der Abbildung beruht darauf, dass das Skalarprodukt nicht ausgeartet ist. Die Surjektivität ist Fakt, wir haben also eine Isomorphie. Zum Nachweis, dass eine Isometrie vorliegt, genügt es zu zeigen, dass die Norm von ${}w$ mit der Supremumsnorm (auf der ${}1$-Sphäre) der zugehörigen Linearform übereinstimmt. Es ist

${}\vert {\left\langle v,w\right\rangle }\vert \leq \Vert {v}\Vert \cdot \Vert {w}\Vert \,$

nach Fakt. Daher haben wir

${}\vert {\left\langle v,w\right\rangle }\vert \leq \Vert {w}\Vert \,$

für alle Vektoren ${}v\in V$ mit Norm ${}1$, was sich auf das Supremum überträgt. Ferner ist für (es sei ${}w\neq 0$) ${}v={\frac {w}{\Vert {w}\Vert }}$

${}\vert {\left\langle v,w\right\rangle }\vert =\vert {\left\langle {\frac {w}{\Vert {w}\Vert }},w\right\rangle }\vert =\vert {{\frac {1}{\Vert {w}\Vert }}\left\langle w,w\right\rangle }\vert =\Vert {w}\Vert \,,$

das Supremum ist also gleich ${}\Vert {w}\Vert$. Daher ist auch ${}V'$ ein Hilbertraum.

Zur bewiesenen Aussage