Holomorphe Funktion/2 Variablen/x^2 und x^2y/Nicht einfach/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten die Entfaltungen

$E_{k}\colon {\mathbb {C} }^{2}\times {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(x,y,t)\longmapsto x^{2}+ty^{k},$

mit ${}k\in \mathbb {N} _{+}$. Für (beliebig kleines) ${}t\neq 0$ ist ${}x^{2}+ty^{k}$ (durch eine lineare Transformation) rechtsäquivalent zu ${}x^{2}+y^{k}$. Dies zeigt, dass ${}x^{2}+y^{k}$ in Entfaltungen von ${}x^{2}$ auftreten. Die Funktionen ${}x^{2}+y^{k}$, ${}k\in \mathbb {N}$, sind aber für verschiedene ${}k$ nicht rechtsäquivalent zueinander, da ihre Milnorzahlen nach Beispiel verschieden sind (nämlich gleich ${}k-1$) und dies wegen Fakt die Rechtsäquivalenz ausschließt. Das bedeutet, dass ${}x^{2}$ zu unendlich vielen nicht rechtsäquivalenten Singularitäten deformiert werden kann und daher nicht einfach ist.

Im zweiten Fall betrachtet man die Entfaltungen

$E_{k}\colon {\mathbb {C} }^{2}\times {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(x,y,t)\longmapsto x^{2}y+ty^{k}.$

Das Jacobiideal zur Funktion ${}x^{2}y+y^{k}$ ist

$(xy,x^{2}+ky^{k-1})$

und die Milnorzahl hängt wieder von ${}k$ ab, sodass man entsprechend argumentieren kann.

Zur bewiesenen Aussage