Holomorphe Funktion/Einfache Singularität/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$, ${}0\in U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen, eine holomorphe Funktion. Man sagt, dass ${}f$ im Nullpunkt eine einfache Singularität besitzt, wenn es eine endliche Liste ${}f_{1},\ldots ,f_{k}$ von holomorphen Funktionen (die ebenfalls auf offenen Mengen des ${}{\mathbb {C} }^{n}$ definiert sind) derart gibt, dass in jeder Entfaltung

$E\colon U'\times V\longrightarrow {\mathbb {C} }$

von ${}f$ mit ${}V\subseteq {\mathbb {C} }^{m}$ offen und zusammenhängend und ${}U'\subseteq U$ jede deformierte Funktion ${}f_{w}=E(-,w)$ mit ${}w$ aus einer hinreichend kleinen offenen Umgebung ${}0\in V'\subseteq V$ rechtsäquivalent zu einem ${}f_{i}$ ist.

Zur Liste gehören natürlich stets ${}f$ selbst und der reguläre Funktionskeim. Es geht also darum, inwiefern die durch ${}f$ gegebene Singularität in nichtrechtsäquivalente Singularitäten deformiert werden kann, wie groß also die „Deformationsklasse“ ist. Aufgrund von Bemerkung geht es nur um das Verhalten von Entfaltungen in beliebig kleinen Umgebungen von ${}f_{0}$. Auf den ersten Blick scheint dieses Konzept ziemlich kompliziert und unmotiviert zu sein; das Erstaunliche ist, dass man diese einfachen Singularitäten explizit klassifizieren kann und dass diese Klasse mit anders charakterisierten Klassen von Singularitäten übereinstimmt.