Holomorphe Funktion/Kreisscheibenvereinigung/Nullstellenvergleich/Satz von Rouché/Fakt/Beweis

Beweis

Wir können uns auf eine einzelne Kreisscheibe ${}B\left(P,r\right)$ konzentrieren, es sei ${}\gamma$ die Standardumrundung. Nach Voraussetzung haben weder ${}f$ noch ${}f+g$ Nullstellen auf dem Rand. Nach Fakt ist die Gesamtnullstellenordnung von ${}f$ in ${}U{\left(P,r\right)}$ gleich ${}\sum _{Q\in U{\left(P,r\right)}}\operatorname {Res} _{Q}\left({\frac {f'}{f}}\right)$, wobei die relevante Summe endlich ist. Nach Fakt sind diese Residuen gleich dem ${}2\pi {\mathrm {i} }$-fachen der Windungszahl von ${}f\circ \gamma$ um den Nullpunkt. Die Wege ${}f\circ \gamma$ und ${}(f+g)\circ \gamma$ sind zueinander homotop in ${}{\mathbb {C} }\setminus \{0\}$, nämlich über die Homotopie

$[0,2\pi ]\times [0,1]\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{0\},\,(s,t)\longmapsto f(\gamma (s))+tg(\gamma (s)),$

wobei die Voraussetzung sichert, dass sich alles in ${}{\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ abspielt. Nach Fakt  (1) stimmen die Windungszahlen von ${}f\circ \gamma$ und von ${}(f+g)\circ \gamma$ überein.

Zur bewiesenen Aussage