Holomorphe Funktion/Riemannscher Hebbarkeitssatz/Charakterisierung/Eindimensional/Fakt/Beweis

Beweis

Die Implikationen von (1) nach (2), von (2) nach (3) und von (4) nach (1) sind klar. Sei also (3) erfüllt. Zur Notationsvereinfachung sei  $P=0$.  Wir betrachten die Funktion

$g(z)=zf(z),$

die wir durch  $g(0)=0$  zu einer Funktion auf $G$ fortsetzen. Diese ist stetig nach Voraussetzung in Verbindung mit Fakt. Ferner setzen wir

$h(z)=zg(z).$

Wir lesen die Gleichung

$h(z)=zg(z)=0+0z+zg(z)$

als eine affin-lineare Approximation für $h$ (vergleiche Fakt). Daher ist $h$ im Nullpunkt komplex differenzierbar und damit auf ganz $G$ holomorph. Nach Fakt gibt es für $h$ eine Beschreibung als Potenzreihe in einer offenen Umgebung,

$h(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{z}^n.$

Aufgrund der Definition von $h$ ist  $c_0=c_1=0$  und damit ist

$\begin{array}{cc}h(z)& =\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{z}^n\\ & =z^2\left(\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{z}^{n-2}\right)\\ & =z^2\left(\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_{k+2}{z}^k\right).\end{array}$

Daher ist

$\tilde{f}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_{k+2}{z}^k$

eine holomorphe Fortsetzung von $f$.

Zur bewiesenen Aussage