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Holomorphe Funktion/Riemannscher Hebbarkeitssatz/Charakterisierung/Eindimensional/Fakt/Beweis

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Beweis

Die Implikationen von (1) nach (2), von (2) nach (3) und von (4) nach (1) sind klar. Sei also (3) erfüllt. Zur Notationsvereinfachung sei . Wir betrachten die Funktion

die wir durch zu einer Funktion auf fortsetzen. Diese ist stetig nach Voraussetzung in Verbindung mit Fakt. Ferner setzen wir

Wir lesen die Gleichung

als eine affin-lineare Approximation für (vergleiche Fakt). Daher ist im Nullpunkt komplex differenzierbar und damit auf ganz holomorph. Nach Fakt gibt es für eine Beschreibung als Potenzreihe in einer offenen Umgebung,

Aufgrund der Definition von ist und damit ist

Daher ist

eine holomorphe Fortsetzung von .