Holomorphe Funktion/Singularitäten/Einfachheit/Klassifikation/ADE/Fakt/Beweis

Beweis

Da es sich um eine einfache isolierte Singularität im Nullpunkt handeln soll, verschwinden alle partiellen Ableitungen von ${}f$ im Nullpunkt. Der Rang ${}k$ der Hesse-Matrix ist nach Fakt zumindest ${}n-2$. Nach Fakt ist ${}f$ rechtsäquivalent zu einer Funktion der Form

${}g=x_{1}^{2}+\cdots +x_{k}^{2}+h\,$

mit ${}h\in {\mathfrak {m}}^{3}$ und wobei ${}h$ nur von den Variablen ${}x_{n-1},x_{n}$ abhängt. Bei ${}n-1,n$ hängt ${}h$ sogar von weniger Variablen ab. In jedem Fall kann man ${}h$ in den beiden letzten Variablen und mit ${}h\in {\mathfrak {m}}^{2}$ schreiben. Jede Entfaltung ${}h_{t}$ von ${}h$ ergibt unmittelbar eine Entfaltung von ${}g$. Die dabei entstehenden (deformierten) Funktionen haben die Form ${}{\tilde {E}}(-,t)=x_{1}^{2}+\cdots +x_{k}^{2}+h_{t}(x_{n-1},x_{n})$. Wegen der Einfachheit von ${}g$ treten dabei nur endlich viele Singularitätsklassen (im Sinne der Rechtsäquivalenz) auf, sagen wir ${}x_{1}^{2}+\cdots +x_{k}^{2}+h_{i}(x_{n-1},x_{n})$, ${}i\in I$, mit einer endlichen Indexmenge ${}I$. Für jedes ${}h_{t}(x_{n-1},x_{n})$ gibt es somit ein ${}i\in I$ derart, dass ${}x_{1}^{2}+\cdots +x_{k}^{2}+h_{t}(x_{n-1},x_{n})$ und ${}x_{1}^{2}+\cdots +x_{k}^{2}+h_{i}(x_{n-1},x_{n})$ zueinander rechtsäquivalent sind. Nach Fakt sind dann ${}h_{t}(x_{n-1},x_{n})$ und ${}h_{i}(x_{n-1},x_{n})$ zueinander rechtsäquivalent. Dies bedeutet, dass ${}h(x_{n-1},x_{n})$ ein einfacher Funktionskeim in zwei Variablen ist. Deren Rechtsäquivalenzklassen wurden in Fakt klassifiziert.

Wir müssen noch zeigen, dass die angegebenen Möglichkeiten wirklich einfach sind.

Zur bewiesenen Aussage