Hyperbelfunktion/Harmonische Reihe/Unbeschränkt/Aufgabe/Lösung

Für ${}x\in \mathbb {R} _{\geq 1}$ mit ${}n-1\leq x\leq n$ ist ${}{\frac {1}{x}}\geq {\frac {1}{n}}$. Deshalb ist auf ${}[1,m]$ (mit ${}m\in \mathbb {N}$) diejenige Funktion, die auf dem ganzzahligen Intervall ${}[n-1,n[$ den Wert ${}{\frac {1}{n}}$ besitzt, eine untere Treppenfunktion zu ${}1/x$. Das zugehörige Treppenintegral hat den Wert

${}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{m}}=\sum _{k=2}^{m}{\frac {1}{k}}\,$

und damit ist diese Summe ein unteres Treppenintegral

von ${}1/x$ auf ${}[1,m]$. Jede obere Schranke zu ${}1/x$ liegt oberhalb dieses Treppenintegrals. Da die harmonische Reihe divergiert, gibt es keine gemeinsame Schranke unabhängig von ${}m$.

Zur gelösten Aufgabe