Hyperbolische Halbebene/Kurve/Tangentiale Beschleunigung/2/Aufgabe/Lösung

Wir arbeiten auf dem zurückgezogenen Vektorbündel $ℝ \times ℝ^{2}$ über $ℝ$ mit dem zurückgezogenen Zusammenhang, dessen Christoffelsymbole ${\tilde{Γ}}_{ℓ}^{k}$ in Aufgabe bestimmt wurden. Es seien $e_{1}, e_{2}$ die Basisschnitte. Dann ist nach Fakt

\begin{matrix} \nabla_{\partial} ({ψ_{1}}^{'} e_{1} + {ψ_{2}}^{'} e_{2}) & = D_{\partial} ({ψ_{1}}^{'}) e_{1} + {ψ_{1}}^{'} \nabla_{\partial} e_{1} + D_{\partial} ({ψ_{2}}^{'}) e_{2} + {ψ_{2}}^{'} \nabla_{\partial} e_{2} \\ = {ψ_{1}}^{″} e_{1} + {ψ_{1}}^{'} \nabla_{\partial} e_{1} + {γ_{2}}^{″} e_{2} + {ψ_{2}}^{'} \nabla_{\partial} e_{2} \\ = {ψ_{1}}^{″} e_{1} + {ψ_{1}}^{'} ({\tilde{Γ}}_{1}^{1} e_{1} + {\tilde{Γ}}_{1}^{2} e_{2}) + {ψ_{2}}^{″} e_{2} + {ψ_{2}}^{'} ({\tilde{Γ}}_{2}^{1} e_{1} + {\tilde{Γ}}_{2}^{2} e_{2}) \\ = ({ψ_{1}}^{″} + {ψ_{1}}^{'} {\tilde{Γ}}_{1}^{1} + {ψ_{2}}^{'} {\tilde{Γ}}_{2}^{1}) e_{1} + ({ψ_{2}}^{″} + {ψ_{1}}^{'} {\tilde{Γ}}_{1}^{2} + {ψ_{2}}^{'} {\tilde{Γ}}_{2}^{2}) e_{2} . \end{matrix}

Dies ergibt

\begin{matrix} \nabla_{\partial} ({ψ_{1}}^{'} e_{1} + {ψ_{2}}^{'} e_{2}) (t) & = ({\tilde{Γ}}_{1}^{1} (t) + e^{t} {\tilde{Γ}}_{2}^{1} (t)) e_{1} + (e^{t} + {\tilde{Γ}}_{1}^{2} (t) + e^{t} {\tilde{Γ}}_{2}^{2} (t)) e_{2} \\ = (- 1 - e^{t} e^{- t}) e_{1} + (e^{t} + e^{- t} - e^{t}) e_{2} \\ = - 2 e_{1} + e^{- t} e_{2} . \end{matrix}

Zur gelösten Aufgabe