Zum Inhalt springen

Linearer Zusammenhang/Vertikale Ableitung/Längs Abbildung/Einführung/Textabschnitt

Aus Wikiversity

Es sei ein differenzierbares Vektorbündel über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit , das mit einem linearen Zusammenhang versehen sei. Dies gibt Anlass zu einer vertikalen Ableitung, zu jedem Vektorfeld und jedem stetig differenzierbaren Schnitt

ist der stetige Schnitt in , der durch

gegeben ist. Auf einer offenen Menge mit und den partiellen Ableitungen und einer Trivialisierung

mit Basisschnitten wird eine solche vertikale Ableitung durch die Christoffelsymbole mit

wegen Fakt vollständig beschrieben. Dieses Konzept möchte man nicht nur für Schnitte über , sondern auch für Schnitte

längs einer fixierten differenzierbaren Abbildung

zur Verfügung haben, wenn also ein kommutatives Diagramm

vorliegt. Man beachte, dass ein Schnitt

dasselbe ist wie ein Schnitt

im zurückgezogenen Vektorbündel . Zu einem Vektorfeld auf und einem solchen Schnitt kann man die entsprechende Hintreeinanderschaltung von Abbildungen

betrachten, die wir wieder mit bezeichnen. Den über diese vertikale Ableitung festgelegten Zusammenhang nennen wir den zurückgezogenen Zusammenhang . Er erfüllt die folgenden Eigenschaften.



Es sei ein differenzierbares Vektorbündel über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit , das mit einem linearen Zusammenhang versehen sei. Es sei eine differenzierbare Abbildung mit dem zurückgezogenen Zusammenhang auf dem zurückgezogenen Vektorbündel über . Dann gelten folgende Eigenschaften.

  1. Die Abbildung

    ist -linear. Insbesondere ist ein linearer Zusammenhang.

  2. Für eine Einschränkung

    auf offene Kartengebiete mit Koordinaten von und Koordinaten von gilt für die Christoffelsymbole von und Basisschnitte die Beziehung

  1. Klar.
  2. Wir betrachten direkt die lokale Situation. Einen Basisschnitt längs kann man direkt als einen Basisschnitt über auffassen. Die relevanten Abbildungen sind

    Dabei ist

    Für ist somit unter Verwendung von Fakt

    Betrachten der -ten Komponente liefert



Es sei ein differenzierbares Vektorbündel über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit , das mit einem metrischen linearen Zusammenhang versehen sei. Es sei eine differenzierbare Abbildung mit dem zurückgezogenen Zusammenhang auf dem zurückgezogenen Vektorbündel über .

Dann ist auch metrisch.

Zunächst ist nach Aufgabe wieder ein riemannsches Bündel. Wir betrachten die lokale Situation

und und entsprechend . Die beschreibenden Funktionen

der riemannschen Struktur auf hängen auf und auf unmittelbar über zusammen. Es sei ein Standardvektorfeld auf und Basischnitte in . Es ist

Nach Fakt ist

und entsprechend

Da metrisch ist folgt

und daraus folgt mit Aufgabe, dass metrisch ist.