Es sei
ein
differenzierbares Vektorbündel
über einer
differenzierbaren Mannigfaltigkeit
, das mit einem
linearen Zusammenhang
versehen sei. Dies gibt Anlass zu einer
vertikalen Ableitung,
zu jedem Vektorfeld
und jedem stetig differenzierbaren Schnitt
-
ist der stetige Schnitt in , der durch
-
gegeben ist. Auf einer offenen Menge
mit
und den partiellen Ableitungen und einer Trivialisierung
-
mit Basisschnitten wird eine solche vertikale Ableitung durch die Christoffelsymbole mit
-
wegen
Fakt
vollständig beschrieben. Dieses Konzept möchte man nicht nur für Schnitte über , sondern auch für Schnitte
-
längs einer fixierten
differenzierbaren Abbildung
-
zur Verfügung haben, wenn also ein kommutatives Diagramm
-
vorliegt. Man beachte, dass ein Schnitt
-
dasselbe ist wie ein Schnitt
-
im
zurückgezogenen Vektorbündel
. Zu einem Vektorfeld auf und einem solchen Schnitt kann man die entsprechende Hintreeinanderschaltung von Abbildungen
-
betrachten, die wir wieder mit bezeichnen. Den über diese vertikale Ableitung festgelegten Zusammenhang nennen wir den zurückgezogenen Zusammenhang . Er erfüllt die folgenden Eigenschaften.
Es sei
ein
differenzierbares Vektorbündel
über einer
differenzierbaren Mannigfaltigkeit
, das mit einem
linearen Zusammenhang
versehen sei. Es sei
eine
differenzierbare Abbildung
mit dem
zurückgezogenen Zusammenhang
auf dem
zurückgezogenen Vektorbündel
über . Dann gelten folgende Eigenschaften.
- Die Abbildung
-
ist
-linear.
Insbesondere ist ein linearer Zusammenhang.
- Für eine Einschränkung
-
auf offene Kartengebiete mit Koordinaten von und Koordinaten
von gilt für die
Christoffelsymbole
von und
Basisschnitte
die Beziehung
-
Zunächst ist nach
Aufgabe
wieder ein riemannsches Bündel. Wir betrachten die lokale Situation
-
und
und entsprechend
.
Die beschreibenden Funktionen
-
der riemannschen Struktur auf hängen auf und auf unmittelbar über zusammen. Es sei ein
Standardvektorfeld
auf und Basischnitte in . Es ist
Nach
Fakt
ist
und entsprechend
-
Da metrisch ist folgt
-
und daraus folgt mit
Aufgabe,
dass metrisch ist.