Hyperfläche/Isolierte Singularität/Milnorzahl/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir können direkt annehmen, dass ein singulärer Punkt der Hyperfläche ist. Dann ist

im lokalen Ring . Wenn eine isolierte Singularität, so gibt es ein , , in diesem Hyperflächenring derart, dass der einzige singuläre Punkt in . ist. Dies bedeutet nach Fakt, dass das Jacobiideal im Ring nur in dem einzigen maximalen Ideal enthalten ist. Dies bedeutet nach dem Hilbertschen Nullstellensatz, dass das Radikal des Jacobiideals gleich ist. Somit gibt es ein mit

in . Dann gibt es einen surjektiven Algebrahomomorphismus

und die Endlichkeit links impliziert die Endlichkeit rechts.

Sei umgekehrt

endlich als -Vektorraum. Dann hat die Krulldimension und in diesem lokalen Ring haben und das gleiche Radikal, d.h. es gilt

mit einem gewissen . Diese Beziehung kann man durch endlich viele Gleichungen ausdrücken, und damit gelten sie auch in für ein geeignetes , das eine offene Umgebung von beschreibt. Dies bedeutet wiederum, dass auf der Punkt der einzige singuläre Punkt ist.

Zur bewiesenen Aussage