Hyperfläche/Isolierte Singularität/Milnorzahl/Fakt/Beweis

Beweis

Wir können direkt annehmen, dass $P$ ein singulärer Punkt der Hyperfläche ist. Dann ist

J_{F} \subseteq 𝔪_{P}

im lokalen Ring $K [X_{1}, \dots, X_{n}]_{𝔪_{P}}$ . Wenn $P$ eine isolierte Singularität ist, so gibt es ein $g \in K [X_{1}, \dots, X_{n}] / (F)$ , $g \notin 𝔪_{P}$ , in diesem Hyperflächenring derart, dass $P$ der einzige singuläre Punkt in $D (g)$ ist. Dies bedeutet nach Fakt, dass das Jacobiideal $J_{F}$ im Ring $K [X_{1}, \dots, X_{n}]_{g}$ nur in dem einzigen maximalen Ideal $𝔪_{P}$ enthalten ist. Dies bedeutet nach dem Hilbertschen Nullstellensatz, dass das Radikal des Jacobiideals gleich $𝔪_{P}$ ist. Somit gibt es ein $r \in ℕ$ mit

𝔪_{P}^{r} \subseteq J_{F}

in $K [X_{1}, \dots, X_{n}]_{g}$ . Dann gibt es einen surjektiven Algebrahomomorphismus

K [X_{1}, \dots, X_{n}]_{g} / 𝔪_{P}^{r} ⟶ K [X_{1}, \dots, X_{n}]_{g} / J_{F}

und die Endlichkeit links impliziert die Endlichkeit rechts.

Es sei umgekehrt

K [X_{1}, \dots, X_{n}]_{𝔪_{P}} / J_{F}

endlich als $K$ -Vektorraum. Dann hat $K [X_{1}, \dots, X_{n}]_{𝔪_{P}} / J_{F}$ die Krulldimension $0$ und in diesem lokalen Ring haben $J_{F}$ und $𝔪_{P}$ das gleiche Radikal, d.h. es gilt

𝔪_{P}^{r} \subseteq J_{F} \subseteq 𝔪_{P}

mit einem gewissen $r$ . Diese Beziehung kann man durch endlich viele Gleichungen ausdrücken, und damit gelten sie auch in $K [X_{1}, \dots, X_{n}]_{g}$ für ein geeignetes $g$ , das eine offene Umgebung von $P$ beschreibt. Dies bedeutet wiederum, dass auf $D (g)$ der Punkt $P$ der einzige singuläre Punkt ist.

Zur bewiesenen Aussage