Hyperfläche/Isolierte Singularität/Milnorzahl/Fakt/Beweis

Beweis

Wir können direkt annehmen, dass ${}P$ ein singulärer Punkt der Hyperfläche ist. Dann ist

${}J_{F}\subseteq {\mathfrak {m}}_{P}\,$

im lokalen Ring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{{\mathfrak {m}}_{P}}$. Wenn ${}P$ eine isolierte Singularität, so gibt es ein ${}g\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F)$, ${}g\notin {\mathfrak {m}}_{P}$, in diesem Hyperflächenring derart, dass ${}P$ der einzige singuläre Punkt in ${}D(g)$. ist. Dies bedeutet nach Fakt, dass das Jacobiideal ${}J_{F}$ im Ring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{g}$ nur in dem einzigen maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}_{P}$ enthalten ist. Dies bedeutet nach dem Hilbertschen Nullstellensatz, dass das Radikal des Jacobiideals gleich ${}{\mathfrak {m}}_{P}$ ist. Somit gibt es ein ${}r\in \mathbb {N}$ mit

${}{\mathfrak {m}}_{P}^{r}\subseteq J_{f}\,$

in ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{g}$. Dann gibt es einen surjektiven Algebrahomomorphismus

$K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{g}/{\mathfrak {m}}_{P}^{r}\longrightarrow K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{g}/J_{F}$

und die Endlichkeit links impliziert die Endlichkeit rechts.

Es sei umgekehrt

$K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{{\mathfrak {m}}_{P}}/J_{F}$

endlich als ${}K$-Vektorraum. Dann hat ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{{\mathfrak {m}}_{P}}/J_{F}$ die Krulldimension ${}0$ und in diesem lokalen Ring haben ${}J_{F}$ und ${}{\mathfrak {m}}_{P}$ das gleiche Radikal, d.h. es gilt

${}{\mathfrak {m}}_{P}^{r}\subseteq J_{F}\subseteq {\mathfrak {m}}_{P}\,$

mit einem gewissen ${}r$. Diese Beziehung kann man durch endlich viele Gleichungen ausdrücken, und damit gelten sie auch in ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{g}$ für ein geeignetes ${}g$, das eine offene Umgebung von ${}P$ beschreibt. Dies bedeutet wiederum, dass auf ${}D(g)$ der Punkt ${}P$ der einzige singuläre Punkt ist.

Zur bewiesenen Aussage