Hyperfläche/Multiplizität/Geradenschnitt/C/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}m$ der Grad von ${}f$ und ${}k$ der Untergrad von ${}f$. Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ eine Zariski-offene Menge mit der Eigenschaft, dass die Einsetzungen ${}f\circ \alpha$ zu den Geraden durch den Nullpunkt ${}{\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}t$ zum Parametertupel

${}{\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}\in U\,$

den Grad ${}m$ und den Untergrad ${}k$ besitzen. Eine solche Menge gibt es aufgrund von Fakt und Fakt. Das normierte eingesetzte Polynom hat die Gestalt

$\sum _{j=0}^{m}{\frac {g_{j}(a_{1},\ldots ,a_{n},b_{1},\ldots ,b_{n})}{g_{m}(a_{1},\ldots ,a_{n},b_{1},\ldots ,b_{n})}}t^{j}$

wobei ${}g_{m}$ auf ${}U$ nullstellenfrei und unabhängig von den ${}b_{i}$ ist. Für einen fixierten Parameter ${}(a_{1},\ldots ,a_{n},0,\ldots ,0)$ mit ${}(a_{1},\ldots ,a_{n})\in U$ besitzt dieses Polynom in ${}0$ eine Nullstelle der Vielfachheit ${}k$. Nach dem Satz über die Stetigkeit der Nullstellen gibt es zu jedem ${}\epsilon >0$ ein ${}\delta >0$ mit der Eigenschaft, dass jedes normierte Polynom vom gleichen Grad, das (durch ${}U$ parametrisiert ist und) die Koeffizientenbedingungen

${}\vert {{\frac {g_{j}(a_{1},\ldots ,a_{n},0,\ldots ,0)}{g_{m}(a_{1},\ldots ,a_{n},0,\ldots ,0)}}-{\frac {g_{j}(a_{1}',\ldots ,a_{n}',b_{1},\ldots ,b_{n})}{g_{m}(a'_{1},\ldots ,a'_{n},b_{1},\ldots ,b_{n})}}}\vert \leq \delta \,$

für alle ${}j=0,\ldots ,m-1$ erfüllt, in ${}U{\left(0,\epsilon \right)}$ mindestens ${}k$ Nullstellen mit Gesamtvielfachheit ${}k$ besitzt. Da diese rationalen Koeffizientenfunktionen ${}g_{j}/g_{m}$ stetig sind, gibt es zu jedem ${}(a_{1},\ldots ,a_{n})\in U$ ein ${}s>0$ derart, dass für

${}d{\left((a_{1},\ldots ,a_{n},0,\ldots ,0),(a_{1}',\ldots ,a_{n}',b_{1},\ldots ,b_{n})\right)}\leq s\,$

die zugehörigen Koeffizientenfunktionen diese Abstandsbedingung und die zugehörigen Geraden ${}a't+b$ daher die Schnittbedingung erfüllen, dass sie in der ${}\epsilon$-Umgebung des Nullpunktes insgesamt zumindest ${}k$ Schnittpunkte haben.

Zur bewiesenen Aussage