Hyperfläche/R^n/Parametrisierung/Zweite Fundamentalmatrix/Definition

Zweite Fundamentalmatrix

Es sei  ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$  offen, ${}f\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und  ${}Y=f^{-1}(c)$  die Faser zu  ${}c\in \mathbb {R}$,  wobei ${}f$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow Y,$

 ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n-1}$,  eine zweifach differenzierbare Parametrisierung einer offenen Menge  ${}U\subseteq Y$  mit den Parametern ${}u_{1},\ldots ,u_{n-1}$. Es sei ${}Y$ durch ein Einheitsnormalenfeld ${}N$ orientiert, wobei wir ${}N$ als Feld auf ${}V$ auffassen. Dann setzt man

${}h_{ij}=\left\langle \partial _{i}\partial _{j}\varphi ,N\right\rangle \,.$

Die zweite Fundamentalmatrix zu ${}\varphi$ ist die (von ${}Q\in V$) abhängige Matrix

${}H={\left(h_{ij}\right)}_{1\leq i,j\leq n-1}\,.$